2023年 数学新中考二轮专题导练 考点07 二次函数与几何图形综合问题

考点07 二次函数与几何图形综合问题 考点精讲 二次函数与几何综合题是中考必考的题型，一般出现在压轴题位置，考查到二次函数的图像与性质、几何图形的判定、性质，通常会考查到线段最值、定值、面积定值及最值、周长定值及最值、直线的关系、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊三角形的存在性问题、特殊四边形的存在性问题、抛物线与圆等，考查的范围比较广。 在解决二次函数与几何综合题时，除了需要具备扎实的基础外，还需要有良好的思维能力，需要具备一定的数学思想和方法，在解题中通常会运用到数形结合思想、分类讨论思想、整体思路、转化思想等，一些综合性的题目的解答有一定的技巧和方法，在复习备考中，需要重点去学习、练习、总结和思考。本考点总结以下七类型典型例题 类型一：二次函数与线段有关的问题 类型二：二次函数与图形面积有关的问题 类型三：二次函数与角度有关的问题 类型四：二次函数与特殊三角形判定有关的问题 类型五：二次函数与特殊四边形判定有关的问题 类型六：二次函数与全等三角形、相似有关的问题 类型七：二次函数与圆有关的问题 真题解析 例题 1．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知，，，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为（ ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】 在Rt△AOB中，由勾股定理求得；再求得直线AC的解析式为；设的半径为m，可得P（m，-m+6）；连接PB、PO、PC，根据求得m=1，即可得点P的坐标为（1，5）；再由抛物线过点P，由此即可求得． 【详解】 在Rt△AOB中，，， ∴； ∵，， ∴OC=6， ∴C（0，6）； ∵， ∴A（6，0）； 设直线AC的解析式为， ∴ ， 解得， ∴直线AC的解析式为； 设的半径为m， ∵与相切， ∴点P的横坐标为m， ∵点P在直线直线AC上， ∴P（m，-m+6）； 连接PB、PO、PA， ∵与、均相切， ∴△OBP边OB上的高为m，△AOB边AB上的高为m， ∵P（m，-m+6）； ∴△AOP边OA上的高为-m+6， ∵， ∴， 解得m=1， ∴P（1，5）； ∵抛物线过点P， ∴． 故选D． 【点睛】 本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出的半径是解决问题的关键． 2．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意得，设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，利用扇形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：如图， 根据旋转的性质，， ∴， 则 ， ∵点P在直线上，点Q在直线上，且PQ∥轴， 设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)， ∴OP2=， OQ2=， ， 设， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 故选：A． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 3．（2021·四川资阳市·中考真题）已知A、B两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于、两点．若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根据题意画出函数的图象，再结合图象建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】 解：由题意得：线段（除外）位于第四象限， 过点且平行轴的直线在轴的下方， 抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限， ， 画出函数图象如下： 结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值， 即，解得， 又， ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数与一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质，以及图象法是解题关键． 4．（2021·山东）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项． 【详解】 解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F， ∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4， ∴DE=CF=4， ∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ