5.3.2函数的极值与最值（第3课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大(小)值 2.函数的最大（小）值(2) 复习回顾 1.函数最值的存在性 一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,必有最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤 ① 求函数f(x)在(a, b)内的极值； ② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)； ③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 探究新知 解:(1)函数的定义域为R. ． f '(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex =(x+2) ex . 令f '(x)=0,解得x=－2. f' (x), f (x)的变化情况如下表所示. x (－∞, －2) －2 (－2, +∞) f '(x) 0 f (x) – + 单调递减 单调递增 解： 当x→- ∞时，与一次函数相比，指数函数y=e -x呈爆炸性增长，从而 当x→+∞时，f (x)→+∞，f ' (x)→+∞． 根据以上信息，我们画出f (x)的大致图象如图所示． x y O 1 -1 -2 • • • 解： x y O 1 -1 -2 • • • 由(1)及图可知，当x=－2时，f (x)有最小值 所以，关于方程f (x)=a(a∈R)的解的个数有如下结论： 5 由例1可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质. 通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象： (1) 求出函数f(x)的定义域； (2) 求导数f′(x)及函数f′(x)的零点； (3) 用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； (4) 确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5) 画出f(x)的大致图象. 方法归纳 6 练习1.设函数f(x)＝mex－x2＋3，其中m∈R. (1)当m＝0时，求函数h(x)＝xf(x)的极值； (2)若函数f(x)在区间[－2,4]上有两个零点，求m的取值范围． 解　(1)当m＝0时，f(x)＝－x2＋3. 此时h(x)＝xf(x)＝－x3＋3x，则h′(x)＝－3x2＋3. 当－1<x<1时，h′(x)>0，当x<－1或x>1时，h′(x)<0， ∴h(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减， 在(－1,1)上单调递增． ∴h(x)有极小值h(－1)＝－2，有极大值h(1)＝2. 巩固练习 问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？ (2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 例2. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位: cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. (1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大? (2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小? 解： 11 例2. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位: cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. (1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大? (2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小? （2）半径为2 cm时，利润最小．这时f(2)<0， 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． 解： 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象上观察，你有什么发现？ 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象上观察，你有什么发现？ 从图象上容易看出，当r=3时，f(3)=0，即瓶子的半径是3 cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r>3时，利润才为正值． 当r∈(0,2)时，f(r)是减函数，你能解释它的实际意义吗？ (1)根据题设建立数学模型，借助图象寻找各条件间的联系，适当选定变量，构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出最值． (2)在实际问题中，若函数在某区间内只有一个极值点，则只要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 感悟提升 证明： x y O 1 π 巩固练习 解： 2.如