专题5.4 函数的极值与最大（小）值（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题5.4 函数的极值与最大（小）值（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求已知函数的极值（点）】 2 【题型2 根据极值（点）求参数】 3 【题型3 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 6 【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】 9 【题型5 由导数求函数的最值（含参）】 12 【题型6 已知函数最值求参数】 16 【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 19 知识点1 函数的极值 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b 附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【题型1 求已知函数的极值（点）】 【例1】（24-25高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出的单调性，再结合极值即可求解. 【解答过程】由题意可得， 令，得或， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以当时，取到极小值，故C正确. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 ，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 【答案】B 【解题思路】先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，进而得出极值点. 【解答过程】因为，所以． 令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增． 可知在处取得唯一极小值，所以的极值点为1． 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 【答案】A 【解题思路】对求导，令，，求出的单调性，即可求出的极值. 【解答过程】，令，解得， ，，单调递增；，，单调递减， 因此，在处取得极大值，极大值为，无极小值. 故选：A. 【变式1-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的导数，利用给定极值点求出，进而求出极小值. 【解答过程】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，， 所以函数的极小值. 故选：A. 【题型2 根据极值（点）求参数】 【例2】（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A．[0，1] B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过求导得，设，求得，就参数分类讨论函数的单调性，即得函数的极值情况，从而求得参数的范围. 【解答过程】由可知函数的定义域为，则， 设，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，则. ① 当即时，，则在上单调递增，故函数无极大极小值，不合题意； ② 当时，由解得， 因函数既有极大值也有极小值，故，解得. 由可得或；由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）若函数（）的极小值点为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导，利用求得的值，从而得到，分和两种情况讨论，当时，结合二次函数图象判断函数单调性，从而求得的取值范围. 【解答过程】求导得， 因为极小值点为2，所以，解得， 所以， （1）当时，，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增，极小值点为2符合题意； （2）当时，令得， ①当时，，令得，令得或， 所以在上单调递减，在 上单调递增，所以极小值点为2符合题意； ②当时，要使得极小值点为2，结合二次函数图象，则要求，解得； 综上，的取值范围为， 故选：A. 【变式2-2】（24-25高二下·甘肃张掖·期末）已知函数（）. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间是，无单调递减区间 (2) 【解题思路】（1）对函数求导，构研究导函数符号确定的单调区间； （2）构造函数，将原问题进行等价转化，利用导数求最值，根据题意求出的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，， 则. 令，则. 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增. 故的单调递增区间是，无单调递减区间. （2）因为（），定义域为， 所以. 若有两个极值点，，则方程有两个根，， 所以方程有两个根，， 即函数的图象与直线有两个交点. 故， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以. 又因为当时，，， 所以当时，，当时，. 要使函数的图象与直线有两个交点，则，解得， 即实数a的取值范围是. 【变式2-3】（24-25高二下·山东青岛·期末）已知函数，. (1)求的零点； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】(1)1； (2). 【解题思路】（1）确定函数的单调性，再求出其零点. （2）利用导数求出的极小值并建立不等式，再利用（1）的信息求出的取值范围即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得， 函数在上单调递增，而， 所以的零点是1. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，     当时，取得极小值， 依题意，，即， 由（1）知，在上单调递增，且， 因此不等式的解集为， 所以a的取值范围为. 【题型3 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 【例3】（24-25高二下·天津武清·阶段练习）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】D 【解题思路】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【解答过程】根据图象知当时，，函数在上单调递增，A选项正确； 当时，，函数在上单调递减，故C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【解题思路】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【解答过程】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 【答案】B 【解题思路】根据导函数图象的符号，确定函数的单调性，根据单调性可逐项判断. 【解答过程】由图可知，当时，，单调递减，故A错误； 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以在处取得极大值，故B正确；C错误； 时，，单调递增， 所以和处取得极小值，最小值不能确定，故D错误； 故选：B. 【变式3-3】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数的极值点为c，e C．函数的极大值为 D．函数在上递增，在上递减 【答案】B 【解题思路】对A，D由导数与函数单调性的关系，即可判断的大小以及的单调性，对B，C由极值的定义即可判断. 【解答过程】由题图知可，当时，， 当时，，当时，， 所以在上递增， 在上递减，在上递增， 对A，，故A错误； 对B，函数的极值点为，，故B正确； 对C，函数的极大值为，故C错误； 对D，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故D错误. 故选：B. 知识点2 函数的最值 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】 【例4】（24-25高二下·河北·期末）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导，得到函数单调性，故. 【解答过程】，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 【答案】C 【解题思路】利用导数可求得函数的单调区间，利用单调性找到最值即可. 【解答过程】,, 时，，此时函数单调递增， 时，，此时函数单调递减. ，， 的最小值和最大值分别为，， 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二下·吉林·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）先求得函数的定义域，求导，令和，分别求解可得增区间与减区间； （2）利用（1）的单调性可得函数在的变化情况，进而可求量值. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 求导得， 令，得，解得， 令，得，解得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 又， ， ，易知， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 【变式4-3】（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积； (2)求在上的单调性与最值． 【答案】(1)4 (2)答案见解析 【解题思路】（1）由题意求得，进一步得切线方程即可求解； （2）直接求导得函数单调性，进一步得函数最值. 【解答过程】（1）因为，所以，所以， 解得，而， 所以曲线在处的切线为， 令，解得，令，解得， 故所求为； （2）由（1）可知，设， 求导得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而， 注意到， 所以在上的最小值为，最大值为. 【题型5 由导数求函数的最值（含参）】 【例5】（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【答案】(1)只有1条， (2)当时，，没有最大值；当时，，没有最小值． 【解题思路】（1）分是切点与不是切点两种情况求解，当不是切点时，利用导数几何意义求得对应切线方程，结合已知点在切线上可得，进而求解判断即； （2）分与两种情况，可得的单调性，进而可求最值. 【解答过程】（1）当时，，则， 由题意可知点在曲线上， ①所以当是切点时，则切线斜率为 进而切线方程为，即， ②当不是切点时，设切点为，且， 则切线斜率为， 进而切线方程为， 化简得， 将代入上式，得， 化简得，解得（舍），进而此时没有切线， 综上所述，过点且与曲线相切的直线只有1条，切线方程为． （2）， 当时，由解得，由解得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，没有最大值； 当时，由解得，由解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，没有最小值． 综上，当时，，没有最大值； 当时，，没有最小值． 【变式5-1】（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【解答过程】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 【变式5-2】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数 (其中为常数)． (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为 (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据的正负确定单调区间； （2）分类讨论，根据单调的单调性确定的最小值. 【解答过程】（1） 令解得，所以的单调递增区间为 令解得，所以的单调递减区间为 （2） ①当时，在上单调递增，； ②当时，在上单调递增，； ③当时，令和分别解得和， 则在上单调递减，单调递增，所以； ④当时，在上单调递减. 综上所述：当时，； 当时，； 当时，. 【变式5-3】（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求导，分析函数在上的单调性，进而可得函数在上的最大值. （2）求导，根据的不同取值范围，讨论函数在上的单调性，可求函数在上的最小值. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以. 由 或. 所以当，所以， 所以在上单调递增， 所以. （2）的定义域为， ， 由 . ①当，即时， 或. 所以在上单调递增， ； ②当，即时，由 或. 由 . 所以在上单调递减，在上单调递增， ； ③当，即时，由 . 所以在上单调递减， . 综上，. 【题型6 已知函数最值求参数】 【例6】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可. 【解答过程】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由解析式可得，求函数的导函数，分，，，结合导数分析函数在上的单调性，再结合条件确定的范围. 【解答过程】由可得， 函数，的导函数，， 若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意； 若，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 由函数在上的最大值为，可得， 所以，又， 所以； 若，当时，，函数在上单调递减， 函数在上的最大值为，满足条件， 所以时，函数在上的最大值为. 综上所述，的范围是. 故选：D. 【变式6-2】（2025·广东茂名·二模）已知函数，. (1)若，求图象在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，结合区间讨论函数的单调性，进而即可. 【解答过程】（1）当时，， 则，则，又， 所以函数在点处的切线方程为， 即. （2）由，， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，函数在上单调递减， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 若，即时，函数在上单调递增， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 若，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得. 综上所述，． 【变式6-3】（24-25高三上·海南·开学考试）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）求定义域，求导，对参数进行分类讨论即可； （2）由（1）知a的初步范围，求得最大值，利用导数解不等式即可. 【解答过程】（1）由，知，定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，则在上单调递增； 令，则在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，若有最大值，则，且， 因为的最大值小于， 所以，即， 设，问题转化为解不等式， 因为恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，所以， 故的取值范围为. 【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例7】（24-25高二下·河南郑州·期末）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】求出函数的导数，根据题意列式求出的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【解答过程】由，则， 因为在处取得极值，所以，解得， 故， 当或时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意，故符合题意， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， ，故在上的最小值为2. 故选：A. 【变式7-1】（2025·江西上饶·一模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（    ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 【答案】D 【解题思路】根据对数恒等式将函数变形转化为，利用导函数研究的单调性，再由复合函数单调性得单调性、极值与最值，再分别判断选项即可. 【解答过程】由，则， 令，则，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 由函数与复合而成，而在上单调递增； 故在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取极小值，且无极大值， 又，故不存在实数，使得. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)若时，取得极值，求a； (2)求在[0，1]上的最小值； (3)若直线l是与曲线有且只有一个公共点的切线，直接写出直线l的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求导得到，根据得到并验证，可得答案； （2）对进行分类，利用导数分析在上的单调性，进而求得在上的最小值； （3）设直线与曲线相切于点，利用导数的几何意义得，由题意知只有一组解，求得即可得直线的方程. 【解答过程】（1），则. 由题意得，得， 所以， 当时，；当时，. 所以在时取得极大值；在时取得极小值. 所以； （2）由，，得， 当时，，是单调递增函数， 当时，， 若即时，，在上是单调递减函数，； 若即时， 时，，单调递减，时，，单调递增， 故 （3）设直线与曲线相切于点，则， 直线的斜率， 直线的方程为 即， 联立，得，即， 解得或 因为直线l是与曲线有且只有一个公共点的切线，所以，得. 将代入的方程为得 直线的方程为：. 【变式7-3】（24-25高二下·北京东城·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若函数在上存在最小值，求的取值范围 【答案】(1)； (2)极大值为，极小值为； (3) 【解题思路】（1）计算出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求导，得到函数单调性，进而求出极值情况； （3）由（2）得到函数单调性，结合，得到的取值范围. 【解答过程】（1）， ， 故， 故在点处的切线方程为， 即； （2）令，得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 极大值为，极小值为； （3）由（2）知，在上单调递增，在上单调递减， 且， 要想在上存在最小值，故. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 函数的极值与最大（小）值（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求已知函数的极值（点）】 2 【题型2 根据极值（点）求参数】 2 【题型3 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 3 【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】 5 【题型5 由导数求函数的最值（含参）】 5 【题型6 已知函数最值求参数】 7 【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 7 知识点1 函数的极值 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b 附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【题型1 求已知函数的极值（点）】 【例1】（24-25高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 ，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 【变式1-2】（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 【变式1-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【题型2 根据极值（点）求参数】 【例2】（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A．[0，1] B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）若函数（）的极小值点为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·甘肃张掖·期末）已知函数（）. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，求实数a的取值范围. 【变式2-3】（24-25高二下·山东青岛·期末）已知函数，. (1)求的零点； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【题型3 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 【例3】（24-25高二下·天津武清·阶段练习）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【变式3-1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【变式3-2】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 【变式3-3】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数的极值点为c，e C．函数的极大值为 D．函数在上递增，在上递减 知识点2 函数的最值 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】 【例4】（24-25高二下·河北·期末）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 【变式4-2】（24-25高二下·吉林·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值. 【变式4-3】（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积； (2)求在上的单调性与最值． 【题型5 由导数求函数的最值（含参）】 【例5】（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【变式5-1】（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【变式5-2】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数 (其中为常数)． (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数在上的最小值． 【变式5-3】（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 【题型6 已知函数最值求参数】 【例6】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·广东茂名·二模）已知函数，. (1)若，求图象在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求的值. 【变式6-3】（24-25高三上·海南·开学考试）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例7】（24-25高二下·河南郑州·期末）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式7-1】（2025·江西上饶·一模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（    ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 【变式7-2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)若时，取得极值，求a； (2)求在[0，1]上的最小值； (3)若直线l是与曲线有且只有一个公共点的切线，直接写出直线l的方程． 【变式7-3】（24-25高二下·北京东城·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若函数在上存在最小值，求的取值范围 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $