上海市长宁区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（一模）

2023学年第一学期初三数学教学质量调研试卷 （考试时间：100分钟 满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1．在中，，如果，那么等于（ ） A． B． C． D． 2．下列关于抛物线的描述正确的是（ ） A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的 C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的 3．已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（ ） A． B． C． D． 5．已知为非零向量，且，那么下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 6．如果点分别在的两边上，由下列哪一组条件可以推出（ ） A． B．； C． D． 6．已知在与中，点分别在边上，（点不与点重合，点不与点重合）．如果与相似，点分别对应点，那么添加下列条件可以证明与相似的是（ ） ①分别是与的角平分线； ②分别是与的中线； ③分别是与的高． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7．如果均不为零），那么的值是____________． 8．计算：____________． 9．已知线段，那么线段的比例中项等于____________． 10．已知两个相似三角形的周长之比为，那么它们的面积之比为____________． 11．如图，，如果，那么线段的长为____________． 12．二次函数图像上部分点的坐标满足下表：那么____________． 0 1 2 3 13．已知向量与单位向量方向相反，且，那么____________．（用含向量的式子表示） 14．已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为____________． 15．如图，在中，是上的高，且，矩形的顶点在边上，顶点分别在边和上，如果，那么____________． 16．如图，在中，，点是的重心，联结，如果，那么的余切值为____________． 17．我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在中，，点都在边上，，如果与是友好三角形，那么的长为____________． 18．如图，在矩形中，是对角线，点在边上，联结，将沿着直线翻折，点的对应点恰好落在内，那么线段的取值范围是____________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 已知抛物线． （1）用配方法把化为的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的顶点坐标． 20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分） 在平行四边形中，点是的中点，相交于点． （1）设，试用表示； （2）先化简，再求作：（直接作在图中）． 21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 如图，在四边形中，，垂足为点． （1）求的值； （2）联结交于点，如果，求的长． 22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）小题8分） 小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 图1 图2 图3 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决：（1）请用含的代数式表示仰角； （2）如果在同一平面内，小明的眼晴到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 如图，在中，点分别是的中点，且，联结并延长交于点． （1）证明：； （2）证