2.7.2 抛物线的几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.7.2 抛物线的几何性质 新授课 1.通过研究抛物线的方程，掌握抛物线的几何性质. 2.能利用抛物线的几何性质进行简单应用. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：类比椭圆、双曲线的几何性质，可以研究抛物线y=2px(p>0)的 哪些几何性质？如何研究这些性质？ l F M H K O y x 知识点一：抛物线的几何性质 通过抛物线方程可以研究抛物线的范围，对称性，顶点，离心率等性质. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：已知抛物线C的方程为 y2=2x，根据方程回答下列问题： (1)方程中 x 与 y 取值范围是多少？ 由此可知，抛物线C位于 y 轴及 y 轴的右侧，如图所示. ∵y2≥0，∴2x≥0，即x≥0，y∈R. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：已知抛物线C的方程为 y2=2x，根据方程回答下列问题： (2)抛物线C是否关于x轴，y轴，原点对称？为什么？ 如果 (x，y) 是方程 y2=2x 的一组解，可得 (x，−y) 也是方程的解，即抛物线关于 x 轴对称； 又因为 (−x，y) ， (−x，−y) 不一定是方程的解，即抛物线不关于 y 轴和原点对称. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：已知抛物线C的方程为 y2=2x，根据方程回答下列问题： (3)抛物线C与坐标轴是否有交点？如果有，求出交点坐标. 令 y=0 ，得 x=0 ；令 x=0 ，得 y=0. 所以抛物线 C 与 x 轴、y 轴都只有一个交点， 且交点都是原点 (0，0) . 如图所示. 新课讲授 学习目标 课堂总结 一般地，如果抛物线 C 的标准方程是 y2=2px  (p>0) ① 则可以根据方程①来得到抛物线的几何性质： (1)范围 当 x →+∞时，|y|→+∞，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，如图所示. ∴除顶点外，抛物线上的其余点都在 y 轴的右侧. 由方程①可知， 2px≥0，又∵ p>0，∴ x≥0. 此时，称抛物线 C 的开口向右(或朝右). 新课讲授 学习目标 课堂总结 所以抛物线C关于x轴对称. 此时称 x 轴是抛物线的对称轴(简称轴) x轴对称 抛物线只有一条对称轴． (2)对称性 y2=2px  (p>0) ① 新课讲授 学习目标 课堂总结 此时，称原点是抛物线的顶点. (3)顶点 在方程①中，令 y=0 ，得 x=0 ；令 x=0 ，得 y=0. y2=2px  (p>0) ① 可知抛物线 C 与 x 轴、y 轴都交于原点 (0，0) . 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)离心率 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率，用 e 表示. l F M K O y x e=1. 根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率 . y2=2px  (p>0) ① 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：如果抛物线的标准方程是 y2 = -2px(p>0) ② x2 = 2py(p>0) ③ x2 = -2py(p>0) ④ 说出抛物线的范围(开口方向)、对称性、顶点、离心率，同①表示的抛物线相比，有什么变化？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 四种抛物线的几何性质的对比 图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e y2 = 2px (p>0) y2 = -2px (p>0) x2 = 2py (p>0) x2 = -2py (p>0) x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y ≤ 0 x∈R (0，0) x轴 y轴 1 y轴 x轴 (0，0) (0，0) (0，0) 1 1 1 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 已知抛物线的对称轴为 x 轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点 ，求这个抛物线的标准方程. 解：根据已知条件可设抛物线的标准方程为 y2 = -2px(p>0) ∵ 点 在抛物线上， ∴ ∴ 2p = 3 从而所求方程为 y2 = -3x 知识点二：抛物线几何性质的简单应用 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 用待定系数法求抛物线方程的步骤 寻关系