2.7.1 抛物线的标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.7.1 抛物线的标准方程 新授课 1.掌握抛物线的定义，理解焦点、准线的几何意义. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 3.能够根据已知条件求出抛物线的标准方程. 新课讲授 学习目标 课堂总结 从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示；二次函数的图像也是一条抛物线. -1 y x O -2 1 y=x2 情境 那什么是抛物线呢？ 知识点一：抛物线的定义 新课讲授 学习目标 课堂总结 平面上到一个定点F与到一条直线l (l不过点F)的距离相等的点的轨迹称为抛物线. l F M H 焦点 准线 定点F称为抛物线的焦点， 定直线l称为抛物线的准线. 距离相等 概念讲解 新课讲授 学习目标 课堂总结 要点辨析 抛物线的定义实质可以归结为“一动三定”: “一动”：一个动点，设为M; “三定”：一个定点F——焦点， 一条定直线l——准线; 一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1，为离心率. l F H M 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线吗？ 不一定.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直与定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线. l F 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：求抛物线方程时该如何建立适当的坐标系？ 知识点二：抛物线的标准方程 l 新课讲授 学习目标 课堂总结 过抛物线的焦点 F 作准线 l 的垂线，记垂足为 K ， 如图，以直线 KF 为 x 轴，线段 KF 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系. l F M H K O y x 设 |KF|=p(p>0)， 则抛物线的焦点为 ，准线为 新课讲授 学习目标 课堂总结 设点M的坐标为(x，y)，点M到准线l的距离为d， l F M H K O y x 因为 所以 将上式两边平方并化简，得 ① 新课讲授 学习目标 课堂总结 叫做抛物线的标准方程. l F M H K O y x 它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 准线是 的抛物线. p表示焦点到准线的距离. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：如果建立的平面直角坐标系分别如图(1)(2)(3)所示，其他条件不变，下列抛物线的焦点坐标和准线方程分别是什么？ 焦点F： 准线l： 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)如何通过方程 y2=2px(p>0) ①得到下列抛物线的标准方程？ l F M K O y x 新课讲授 学习目标 课堂总结 将①中的x变为-x 即可得到抛物线(1)的 方程为 l F M K O y x 通常称②为焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程 . ② ① 新课讲授 学习目标 课堂总结 将①中的 x 与 y 互换即可得到抛物线(2)的方程为 通常称③为焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程 l F M K O y x ③ ① 新课讲授 学习目标 课堂总结 将①中的 x 变为 - y 且 y 变为 - x即可得到抛物线(3)的方程为 l F M K O y x 通常称④为焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程 . ④ ① 新课讲授 学习目标 课堂总结 方程中，一次项的变量如果为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴； 一次项系数的符号决定开口方向. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向 l O F P y x l F P O y x l O F P y x l F P O y x 向右 向左 向上 向下 归纳总结 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：二次函数y=ax2(a≠0)的图象为什么是抛物线?它的焦点坐标、准线方程分别是什么？ y=ax2 焦点坐标： 准线方程： 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程： (1)抛物线的焦点到准线的距离是 3 ，而且焦点在 x 轴的正半轴上； 解： (1)根据题意可知，抛物线的标准方程具有 的形式， 且 p=3 ， 准线方程为 y2=6x. 因此所求标准方程为 知识点三：求抛物线的标准方程 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程： (2)抛物线的焦点是 F(−3，0). 解：(2)∵抛物线的焦点是 F(−3，0)， ∴可设抛物线的标准方程为y