2.6.2 双曲线的几何性质 第1课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.6.2 双曲线的几何性质 第1课时 新授课 回顾：研究椭圆的几何性质时，涉及到哪些方面？ 范围，对称性，顶点，离心率等 1.掌握双曲线的简单几何性质. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：已知双曲线C的方程为 (1)方程中x与y的取值范围是多少？ (1) 或 由此可知，双曲线C位于直线x=-1与x=1所夹平面区域的外侧，如图所示. 知识点：双曲线的几何性质 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称？为什么？ 双曲线C： 若(x，y)是方程 的一组解， 即双曲线C关于y轴、x轴、坐标原点对称. 则(-x，y)也是方程的解，同理(x,-y),(-x,-y)都是方程的解， (x，y) (-x，y) y轴对称 新课讲授 学习目标 课堂总结 双曲线C： (3)双曲线C与坐标轴是否有交点？如果有，求出交点坐标. 令y=0，得x=-1或x=1， 可知双曲线C与x轴有两个交点， 且交点坐标分别为(-1，0)，(1，0)； 令x=0，得 这个方程无实数解， 可知双曲线C与y轴没有交点.如图所示 新课讲授 学习目标 课堂总结 (4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，当|x|增大时，|y|将怎样变化？ 双曲线C： ∴ 当|x|增大时，|y|也增大. 即双曲线C向四周无限延伸，如图所示. 新课讲授 学习目标 课堂总结 若双曲线C的方程为 (1)范围 双曲线位于直线x=-a及其左侧和直线x=a及其右侧的区域. F1 F2 x O y -a a 则可得双曲线的几何性质： ① 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)对称性 F1 F2 x O y (x，y) (x，-y) (-x，-y) (-x，y) 如果(x，y)是方程 的一组解， 则(-x，y)，(x，-y)，(-x，-y)都是方程的解， 所以双曲线C关于y轴、x轴、坐标原点对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点O是双曲线的对称中心，又叫双曲线的中心. 新课讲授 学习目标 课堂总结 (3)顶点 令y=0，得x=±a，双曲线和x轴有两个交点，记为 令x=0，得 方程无解，与y轴无交点. 线段A1A2叫做双曲线的实轴， 它的长为2a，a叫做实半轴长； 记B1(0，b)，B2(0，b)，则称线段B1B2为双曲线的虚轴. 它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长. F1 F2 x O y A1 A2 B1 B2 实轴 虚轴 双曲线的顶点 新课讲授 学习目标 课堂总结 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. F1 F2 x O y A1 A2 B1 B2 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：（1）由方程①可以看出，如果(x，y)是双曲线上一点，则|x|增大时，|y|也是增大的.即双曲线向四周无限延展，如图所示.那么，这种无限延展还有什么性质呢？ F1 F2 x O y 新课讲授 学习目标 课堂总结 F1 F2 x O y 双曲线上的点会越来越接近直线 当x越来越大时: 双曲线在直线 的下方，不会穿过直线 所以 当x>a时， 第一象限： 新课讲授 学习目标 课堂总结 第一象限： （2）双曲线线上的点到直线 的距离d随x增大会如何变化？ 当x时，d而且 无限接近，但又始终不相交 新课讲授 学习目标 课堂总结 x O A1 y A2 B1 B2 F2 F1 直线 都称为双曲线 的渐近线. 根据双曲线的对称性可知，双曲线①向外无限延伸时，总是在由直线y合与直线y一一相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内，并无限接近于这两条直线，但永远不会与它们相交，如图所示 (4)渐近线. 新课讲授 学习目标 课堂总结 同椭圆情形一样，双曲线的半焦距与半实轴长之比 (5)离心率 称为双曲线的离心率. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：(1)根据双曲线离心率的定义，双曲线离心率的取值范围是什么？ 双曲线: c＞a＞0 e＞1 (2)双曲线离心率的大小与双曲线的形状有什么联系？为什么. 因为 e 越趋近于1 ，则|k| 越小， 双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄; e 越来越大时，则|k| 越大， 双