2.5.2椭圆的几何性质第1课时 课件-2023-2024学年高二数学上学期人教B版（2019）选择性必修第一册

2.5.2 椭圆的几何性质 第1课时 新授课 1.利用椭圆的标准方程，研究并掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质. 2.会根据已知条件，求椭圆的离心率. 新课讲授 学习目标 课堂总结 “天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的. 问题导入 椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？如何研究？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：已知椭圆C的方程为 ，根据这个方程完成下列问题： （1）方程中x与y的取值范围是多少？那么椭圆C在平面直角坐标系中的位置范围是什么？ 解：（1）因为实数的平方是一个非负数， 所以在 中，必有 ， 即 . 因此，椭圆C位于直线x=-2，x=2，y=-1，y=1所围成的矩形内. 同理可得， . 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题： 已知椭圆C的方程为 ，根据这个方程完成下列问题： （2）椭圆C对称性如何？是否关于x轴、y轴、原点对称？ 解：（2）因为如果(x，y)是方程 的一组解， 这说明椭圆 关于x轴、y轴、原点对称. ∴(-x，y)是方程的解. 同理(x，-y)，(-x，-y)也是方程的解. (x，y) (-x，y) y轴对称 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题： 已知椭圆C的方程为 ，根据这个方程完成下列问题： （3）椭圆C与坐标轴是否有交点？如果有，求出交点坐标. 解：（3）在方程 中，令y=0，得x=-2或x=2， 即椭圆C与x轴有两个交点，坐标分别为(-2,0)，(2,0)； 令x=0，得y=-1或y=1 ， 即椭圆C与y轴有两个交点， 坐标分别为(0,-1)，(0,1). 新课讲授 学习目标 课堂总结 一般地，如果椭圆C的标准方程是 ,根据方程可得 椭圆的几何性质： 因此-a≤x≤a 且 -b≤x≤b. 说明椭圆位于直线 和 围成的矩形框里. (1)范围 由椭圆的标准方程可知 且 新课讲授 学习目标 课堂总结 （2）对称性 点P1仍在椭圆上 F1 F2 x O y ①P(x,y) P1(-x,y) y轴 P（x，y） P1（-x，y） ②P(x,y) P2(x,-y) x轴 点P2仍在椭圆上 P2（x，-y） 新课讲授 学习目标 课堂总结 ③P(x,y) P3(-x,-y) 原点 F1 F2 x O y P1（-x，y） 点P3仍在椭圆上 P（x，y） P2（x，-y） P3（-x，-y） 综上,椭圆关于x轴、y轴和原点都是对称的. x轴、y轴是椭圆C的对称轴， 坐标原点是椭圆C的对称中心. 椭圆的对称中心也称为椭圆的中心. 新课讲授 学习目标 课堂总结 （3）顶点 椭圆与y轴的交点:令 x=0,得y =±b， F1 F2 x O y B1(0, -b)， B2(0, b) 椭圆与x轴的交点:令 y=0,得x =±a， A1(-a, 0)， A2(a, 0) 椭圆的顶点 A1 A2 B1 B2 短轴 长轴 2a 2b a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长 新课讲授 学习目标 课堂总结 a,b分别是椭圆半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦距为2c ，则c是椭圆的半焦距. F1 F2 x O y b c A1 A2 B2 B1 a 由于a2+b2=c2，可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边. 新课讲授 学习目标 课堂总结 一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比 称为椭圆的离心率. (4)离心率 F1 F2(c，0) x O y a 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：（1）根据椭圆离心率的定义，椭圆离心率的取值范围是什么？ 因为a>c>0，所以 ，即椭圆的离心率0<e<1 . 因为 ， x O y （0，b） （a，0） 反之，e越趋近于0，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆. 这说明e越趋近于1，则 的值越小，因此椭圆越扁； （