精品解析：吉林省长春市第六中学2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题

长春市第六中学高二上学期期末 考试数学试题 出题人 刘丽娟 审题人 王丽华 试题说明：本试卷共有四道大题，22道小题，考试时间120分钟，满分150分 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 直线过点．倾斜角为，则其方程为 C. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 D. 直线在轴上截距为2 2. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第21项 B. 第22项 C. 第23项 D. 第24项 3. 已知向量，且，那么（ ） A. B. C. D. 4. 直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（    ） A B. C. D. 7. 如图，在棱长为1正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为为曲线与的一个公共点．若，则（ ） A. B. C. 3 D. 二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 已知曲线：．（ ） A. 若，则是焦点在轴上的椭圆 B. 若，则是圆，其半径为 C. 若，则是双曲线 D. 若，，则是两条直线 10. 直线：和圆：，下列结论成立的是（ ） A. 直线：过定点 B. 当实数的值为3时，直线与圆相交，且所得弦长为 C. 当直线与圆相切时，则实数 D. 圆：与圆的公切线有且只有两条 11. 已知抛物线焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（ ） A. B. 若，则M到x轴距离为3 C. 若，则 D. 的最小值为4 12. 《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，则下列结论正确的是（ ） A. 动点的轨迹方程为 B. 直线为成双直线 C. 若直线与点的轨迹相交于两点，点为点的轨迹上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则 D. 点为点的轨迹上的任意一点，，，则面积为 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 若直线与平行，则______. 14. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且．则______． 15. 设数列的前项和是，则______． 16. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是______. 四、解答题：（本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数列满足，． （1）记，证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 某校为了解校园安全教育系列活动成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示. 等级 不及格 及格 良好 优秀 得分 频数 6 24 （1）求的值； （2）试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数； （3）已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中有1人为“优秀”的概率； 19. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，求取值范围． 20. 已知抛物线与直线相交于A、B两点，O为坐标原点． （1）求证：； （2）当时，求的值． 21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面所成角为，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由. 22. 椭圆：长轴长为，左右焦点分别为和，为椭圆上一点，且，． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，若点，求证：直线，的斜率之和为定值． 第1页