2024年九年级中考数学专题复习 二次函数之等腰直角三角形存在性问题

中考数学压轴题专项练习 二次函数之等腰直角三角形存在性问题 1．（2023秋•乐清市期中）如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）已知点D为y轴上一点，点D关于直线AC的对称点为． ①当点刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点D的坐标； ②点P在抛物线上（点P不与点A、点C重合），连结PD，，，是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023秋•湖北期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中，顶点，点E为对称轴上点，D、F为抛物线上点（点D位于对称轴左侧），且四边形CDEF为正方形． （1）求该抛物线的解析式； （2）求正方形CDEF面积； （3）如图2、图3，连结DF，且与CE交于点M，与y轴交于点N，点P为抛物线上位于DF下方的点，点Q为直线BN上点，当是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P坐标． 3．（2023秋•睢宁县期中）如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点C作轴交抛物线于点D，点P是抛物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n． （1）填空： ， ， ； （2）在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值； （3）如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接PQ、DQ，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023秋•罗定市期中）如图，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 5．（2023秋•新抚区期中）如图，直线与坐标轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴交于点A． （1）求抛物线的解析式； （2）M在直线BC上，线段MA绕点M顺时针旋转得MD，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，若DE的长是1，求点M的坐标； （3）P在抛物线上，Q在直线BC上，以P，Q，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，直接写出点Q的坐标． 6．（2023秋•延庆区期中）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为． （1）求m的值； （2）若抛物线与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点A，当是等腰直角三角形时，求n的值； （3）点B的坐标为，若该抛物线与线段OB有且只有一个交点，求n的取值范围． 7．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为线段BC上方抛物线上的一点，过点P作轴交直线BC于点E，过点P作交直线BC于点F，求周长的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线CB方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点B，点M是x轴上的一动点，点Q是新抛物线上的一点，是否存在以点P、M、Q为顶点的三角形是以PQ为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 8．（2023春•渝中区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是位于直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作轴交直线AC于点P，过点P作交x轴于点N．求的最大值及此时点M的坐标； （3）将原抛物线沿射线CB方向平移个单位后得到新抛物线，E为新抛物线y'的对称轴上一点，F为新抛物线上一点，若以点C、E、F为顶点的三角形是以CE为腰的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标，并把求其中一个点E的坐标的过程写出来． 9．（2022秋•辽宁期末）函数一直都是初中数学所研究的关键，其种类繁多数不胜数，我们所熟知的函数就有“一次函数”、“二次函数”和“反比例函数”． 现在给出分段函数的定义：对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数，这个函数的整体我们称为． 例如：这个函数在是，在时是，这两个不同区域的函数组合形成了函数． 接下来为绝对值方程：在平面直角坐标系中，若给出方程，那么其图象可以看作是两个分段函数与． 在平面直角坐标系中，已知分段函数与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线与函数交于点． （1）求分段函数的最小值； （2）设最小值所在点为D，点E在上，且，直接写出点E的坐标； （3）①在第（2）问的条件下，求证：； ②在方程上取一点P，点M，N分别在与直线BC上，若为等腰直角三角形，且点P关于MN的对称点恰好