2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形 1．抛物线L：与轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，顶点为D，且OC=2OB． （1）求抛物线L的解析式； （2）如图，过定点的直线（）与抛物线L交于点E、F． 若DEF的面积等于1，求k的值； （3）如图2，将抛物线L向下平移m（）个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴正半轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点N，G为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OM上一点． 若PMN与POG相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标． 2．如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为．        （1）求点的坐标及抛物线的表达式； （2）记抛物线的顶点为，对称轴与线段的交点为，将线段绕点，按顺时针方向旋转，请判断旋转后点的对应点是否还在抛物线上，并说明理由； （3）在轴上是否存在点，使与相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点的坐标【不必书写求解过程】． 3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值； （3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标． 4．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标； （2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标； （3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点为A(0，3)，与x轴的交点分别为B(2，0)，C(6，0)．直线AD∥x轴，在x轴上位于点B右侧有一动点E，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P，Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当点E在线段BC上时，求△APC面积的最大值； （3）是否存在点P，使以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线经过点A(-3，0)，C(0，3)，交x轴于另一点B，其顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，直线CP交x轴于点E，若△CAE与△OCD相似，求P点坐标； （3）如果点F在y轴上，点M在直线AC上，那么在抛物线上是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出菱形的周长；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和B（2，6），其顶点为D． （1）求此抛物线的表达式； （2）求△ABD的面积； （3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果△OCH与△ABD相似，求点C的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+1相交于点A(0，1)和点B(3，﹣2)，交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求△DAB的面积最大时点D的坐标； （3）如图2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以C、B、D为顶点的三角形与△CAE相似时，求所有满足条件的t的值． 9．如图，已知抛物线经过A（－3，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，点D是抛物线上的动点，连结AD与y轴相交于点E，连结AC，CD． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当AD平分∠CAB时． ①求直线AD所对应的函数表达式； ②设P是x轴上的一个动点，若△PAD与△CAD相似，求点P的坐标． 10．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣2，0） （1）直接写出：a＝　 　 （2）如图1，点P在第一象限内抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线交CB的延长线于点D，交AC的延长线于点Q，当△QAP与△QCD相似时，求P点的坐标； （3）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点M，N为第二象限内抛物线上的一点，直线NA，NB