专题03期末压轴：胡不归、阿氏圆、隐圆精讲练-2023-2024学年九年级数学上学期期末复习重难点突破（苏科版）

专题03 期末压轴：胡不归、阿氏圆、隐圆精讲练 学校：__________ 班级：__________姓名：__________学号：__________ 隐圆模型背诵 隐圆一:定弦定角，隐圆正好。 试卷第2页，共2页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 AB的长度固定不变（定弦），∠ABC=α不变（定角）。 这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。 隐圆一特殊: 若∠ACB=90°，则AB 为三点所在圆的直径。（可以解决动点轨迹。） 隐圆二:等弦对等角，隐圆可以找。(可以利用四点共圆证相似,角相等) 若∠ADC=∠ABC，则A,B,C,D四点共圆。 在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆. 隐圆二特殊. 若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。 隐圆三:对角互补，四点共圆. 若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆。 隐圆三特殊: 若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。 隐圆四：定点定长，隐圆必现。 CA=CB=CP 隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。 若Q为AP的中点，当P沿⊙O 运动一周，则Q的运动轨迹为以 AO 中点M为圆心的圆。（P为“主动点”，点Q为“从动点。） 胡不归与阿氏圆 “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。 1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理(见专题08); 2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。 此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。 (1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； (2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题（见专题11）。 胡不归： 【模型建立】 如图1： P是直线BC上的一动点，求PA+k·PB的最小值。 【作法】 1、 作 ∠ CBE=α，使sinα =k,则PD=k·OP（图2） 2、 当AD最短，AD ⊥ BE时，则P为要求点。(图3) AD长即为PA+k·PB的最小值. 简记: 胡不归,正弦作个角,作高求长即可. 特别提醒：当k＞1时， 【典例1】∠AOB＝30°，OM＝2，D为OB上动点，求MDOD的最小值．图2 图3 思路引领：作∠BON＝∠AOB＝30°，过点M作MC⊥ON于点C，交OB于点D′，当MC⊥ON时，（此时点D′即为点D）MDOD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的长， 答案详解：如图， 作∠BON＝∠AOB＝30°，过点M作MC⊥ON于点C，交OB于点D′， ∴CD′OD′ 所以当MC⊥ON时，（此时点D′即为点D） MDOD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的长， ∴在Rt△OCM中，∠OMC＝30°，OM＝2 ∴OC＝1， ∴CM． 答：MDOD的最小值为． 阿氏圆： 阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似 计算：PA+kPB的最小值。 第一步：确动点的运动轨迹（圆），以点0为圆心、r为半径画圆； （若圆已经画出则可省略这一步） 第二步：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段的固定端点 与圆心相连接），即连接OP,OB。 第三步：计算这两条线段长度的比k; 第五步：在0B上取点C,使得OC= k∙OP ; =k, ∠O= ∠O，可得△ POC ∽ △ BOP可得： =k, PC=k ∙PB 第六步：则PA+kPB ≥PA+PC ≥AC,即当A，P,C 三点共线时可得最小值。 ［提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到 括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算.］ 实战训练 一、单选题 1．如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 二、填空题 4．已知：在平面直角坐标系中，点，在轴上存在一点，使的值最小，此时的坐标为 ，的最小值为 ． 5．如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ． 6．如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ． 7．如图，在中，点A、点在