精品解析：福建省泉州市实验中学2023-2024学年高二上学期1月考试数学试题

福建省泉州市实验中学2023-2024学年高二上学期1月考试数学试题 考试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册；考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知四边形ABCD是菱形，，点E为AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 5. 已知圆，则当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ） A B. C. D. 6. 战国时期成书经说记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相交所得弦长为，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. C. D. 或 7. 已知椭圆和双曲线公共焦点为，在第一象限内的交点为，则（ ） A. -4 B. -6 C. -8 D. -9 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点，记点关于轴的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ） A B. 2 C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的．正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分） 9. 如图，已知正方体的棱长为2，点P是线段的中点，点Q是线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. Q到平面的距离为 C. 与所成角的取值范围为 D. 三棱锥外接球体积的最小值为 10. 已知正四棱柱的底面边长为1，，点P，Q分别满足，，，，则（ ） A. 当时，对于任意的实数λ，μ，恒为锐角 B. 当时，对于任意的实数λ，μ，都有成立 C. 当时，满足的点P的轨迹与BD平行 D. 当时，满足的点P的轨迹围成的区域的面积为 11. 已知直线经过点，且一个法向量为，若点，到的距离相等，则实数的可能值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（ ） A. B. C. 最大值为16 D. 当最小时，直线的斜率不存在 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 14. 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 15. 如图，四边形中，，，，，则面积最大值为______. 16. 已知，分别为椭圆()的左、右焦点，过的直线与C交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率为______． 四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在四棱台中，已知，. （1）证明：平面； （2）若四棱台的体积为，求二面角的余弦值. 18. 正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点与交于点，且． （1）用向量方法求的长； （2）对于个向量，如果存在不全为零的个实数，，使得，则称个向量叫做线性相关，否则称为线性无关．试判断是否线性相关． 19. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，动点P满足． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）直线与轨迹C交于E，F两点，若的长为，求直线的方程． 20. 已知椭圆E:，点和点在椭圆E上. （1）求椭圆E的方程; （2）设P是椭圆上一点（异于C，D），直线与x轴分别交于M，N两点.证明:在x轴上存在两点A，B，使得·是定值，并求此定值. 21. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，P为平面内一动点，记直线的斜率为k，直线的斜率为，且，记动点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）若直线与曲线C交于M，N两点（点M在第一象限，点N在第四象限），记直线，的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点． 22. 设抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，且