专题03 向量的数乘（6大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题03 向量的数乘 知识聚焦 考点聚焦 知识点1 向量的数乘运算 1、向量数乘的定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa， 它的长度与方向规定如下： （1）|λa|＝|λ||a|； （2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； （3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、向量数乘的几何意义 当时，把向量沿的相同方向放大或缩小； 当时，把向量沿的相反方向放大或缩小。 3、向量数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 4、向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识点2 向量共线定理 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 4、向量共线的常用结论 （1）设,均为实数，若，不共线，点满足，，则三点共线； （2）中线向量公式：在中，若是的中点，则； （3）与同方向的单位向量为，与共线的单位向量为； （4）是的重心的充要条件是 · 考点剖析 考点1 向量数乘的基本运算 【例1】（2023·重庆綦江·高一校考期中）化简为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·高一课时练习）已知向量，那么等于（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高一课时练习）设是两两不共线的向量，且向量，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·高一课时练习）（1）已知向量，，计算：． （2）若向量，满足，，、为已知向量，求向量，． 【变式1-4】（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向. （1）； （2）； （3）. 考点2 用已知向量表示其他向量 【例2】（2023·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）在中，点为边的中点，记，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·江苏连云港·高一统考期中）已知中，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·福建三明·高一统考期末）在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023·河南周口·高一太康县第一高级中学校考阶段练习）如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､. 考点3 用向量共线证明三点共线 【例3】（2023·重庆·高二校考期中）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·河南许昌·高二统考期末）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·全国·高一课时练习）已知是平面内两个不共线的向量，，，且三点共线，则（ ） A． B．2 C．4 D． 【变式3-3】（2023·江苏镇江·高一统考期末）设与是两个不共线向量，向量，，，若，，三点共线，则（ ） A． B． C． D．3 【变式3-4】（202