专题06 向量坐标表示与应用（10大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题06 向量坐标表示与应用 知识聚焦 考点聚焦 知识点1 向量的坐标表示 1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2、始点为原点的向量坐标与其终点坐标关系：若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. 3、向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则 4、特殊向量的坐标：． 【注意】 （1）在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定， 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)． （2）由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等， 即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． （3）平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． （4）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 知识点2 向量线性运算的坐标表示 1、向量加减法的坐标运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、向量数乘的坐标运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 知识点3 向量数量积的坐标表示 1、数量积坐标表示：若，，则 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。 2、向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则 3、用坐标表示模长、距离、夹角 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 知识点4 线段的定比分点与λ 设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：                                   (内分)                         (外分)()                 (外分) () （1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. （2）点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点. · 考点剖析 考点1 向量的坐标表示 【例1】（2023·江西·高一校联考期末）若点，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·高一课时练习）如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·四川绵阳·高一南山中学实验学校校考期中）已知点，，向量，则向量（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2023·四川南充·高一统考期末）已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为（ ） A． B． C．0 D．1 考点2 向量线性运算坐标表示 【例2】（2023·陕西西安·高一阶段练习）已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·西藏林芝·高一校考期末）已知向量，，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·河南商丘·高一校考阶段练习）已知向量，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·福建龙岩·高一校联考期中）若向量，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023·四川眉山·高一校考期中）已知向量满足，， ，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D． 考点3 向量数量积的坐标表示 【例3】（2023·河北沧州·高一校联考阶段练习）如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（ ） A． B． C．0 D