第04讲 向量的数量积（思维导图+2知识点+8考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第04讲 向量的数量积 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解向量的夹角、向量垂直、投影向量等概念； 2．理解平面向量数量积的含义； 3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题． 知识点1 向量的数量积 1、向量数量积的物理背景 我们知道，如果力与物理位移的夹角为，那么所做的功应为．如果把功看成两个向量与的某种运算结果，那么这个结果是一个数量，它不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量的夹角有关．这时一种新的运算． 2、向量数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积（或内积）． （2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0． 3、投影与投影向量 （1）设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积． 知识点2 向量数量积的性质与运算律 1、向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 2、向量数量积的运算律 （1）；（交换律） （3）；（数乘结合律） （3）；（分配律） （4）平面向量数量积运算的常用公式 考点一：向量数量积的简单计算 例1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，向量与的夹角为， 所以， 所以.故选：A. 【变式1-1】（23-24高一下·河南周口·月考）设向量，的夹角的余弦值为，，，则（    ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 【答案】B 【解析】设与的夹角为，则， 又，，所以， 所以．故选：B. 【变式1-2】（23-24高一下·青海西宁·月考）已知向量满足，且，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【解析】因为向量满足，且， 所以.故选：C. 【变式1-3】（23-24高一下·广西百色·月考）（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD 【解析】对于A，由向量的运算法则，得A正确； 对于B，向量数量积满足分配律，B正确； 对于C，由，得，当时，满足题设，C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量， 而与无任何关系，D错误.故选：CD 考点二：平面几何图形中的数量积 例2.（23-24高一下·重庆荣昌·月考）在中，弦长为2， ． 【答案】2 【解析】过作于点，则点为的中点， . 【变式2-1】（23-24高一下·四川成都·期末）在中，，则（    ） A． B．16 C．32 D． 【答案】B 【解析】根据题意，，所以，， 所以.故选：B 【变式2-2】（23-24高一下·江西新余·月考）在中，，，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】根据题意作出图形，如图所示 ，. , .故选：C. 【变式2-3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知菱形的边长为2，，G是菱形ABCD内一点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】如图，由, 因，则，又因菱形，则； 由可得，, 取的中点为，则有,即, 故.故选：D. 考点三：向量数量积的最值范围 例3.（22-23高一下·重庆渝中·期末）已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 由两边平方得，，整理得，， 因是非零不共线向量，则，即，解得，， 此时函数是增函数，故， 即的取值范围为.故选：D. 【变式3-1】（23-24高一下·北京东城·月考）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其展开几何图是如图的扇形，其中，，4，点在上包含端点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设是的中点，连接， 由于，所以三角形和三角形是等边三角形， 则四边形是菱形，则， ， 由于，所以， 所以， 所以的取值范围是, 故答案为： 【变式3-2】（23-24高一下·浙江·月考）我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是 . 【答案】 【解析】正八边形内角和为，则， 取AC中点，则， 所以， 又，所以 由对称性可得，所以， 过点分别作，垂足为， 则都为等腰直角三角形，且，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】（23-24高一下·山西忻州·月考）已知，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，得， 则，当且仅当共线时取等号， 两边平方得，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 考点四：利用数量积求向量模长 例4.（23-24高一下·福建厦门·月考）在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，，如图，可知. 所以，即，可得. 从而，，所以.故选：C 【变式4-1】（23-24高一下·山东威海·月考）已知平面向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】， 等式两边平方得， 因为，，，化简可得，所以.故选：A. 【变式4-2】（23-24高一下·山东临沂·月考）已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】因为向量与的夹角为，所以， 所以，故选：A. 【变式4-3】（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，且，则 ． 【答案】 【解析】由题意，所以． 故答案为：. 考点五：利用数量积求向量夹角 例5.（23-24高一下·福建龙岩·月考）已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 其中，故， ，故， 所以， 所以与夹角为.故选：C 【变式5-1】（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】单位向量满足，则， ，， 所以.故选：A 【变式5-2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，，均为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数 . 【答案】或 【解析】，，即， 即， 即， 又，，均为单位向量，即， 代入， 即，即，即 解得：或. 故答案为：或. 【变式5-3】（23-24高一下·重庆·月考）设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】向量、满足，，且、的夹角为， 故. 因为与向量的夹角为钝角， 所以且向量与向量不共线， 所以且，解之得：且， 故实数的取值范围为. 考点六：利用数量积解决垂直问题 例6.（23-24高一下·江苏南通·月考）设，已知向量与的夹角为，，，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由得，解得.故选：C. 【变式6-1】（23-24高一下·安徽·月考）已知，，，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，因为与垂直， 所以，得， 得，解得.故选：A. 【变式6-2】（23-24高一下·江苏宿迁·月考）若，，与的夹角为，且，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为，，与的夹角为，则， 若，则, 可得，即，解得. 故答案为：. 【变式6-3】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）若，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以，即， 因为，所以. 故答案为： 考点七：投影及投影向量求解 例7.（23-24高一下·河南漯河·月考）已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以在上的投影向量为.故选：D. 【变式7-1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是，故选：D. 【变式7-2】（23-24高一下·江苏·月考）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：，，， 且， 则， ， 所以向量在向量上的投影向量是.故选：A. 【变式7-3】（23-24高一下·天津南开·月考）在中，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，即， 在中，，，则， 所以在方向上的投影向量为，故选：C． 考点八：由数量积判断三角形形状 例8.（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，若，且，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因为，所以， 若，则，所以， 即，所以是等腰三角形．故选：C． 【变式8-1】（23-24高一下·江苏徐州·月考）是所在平面上一点满足的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】由，得，即， 两边平方并化简得，则，即，所以是直角三角形.故选：B 【变式8-2】（23-24高一下·黑龙江大庆·月考）中，设，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【解析】因为， 所以， 即，可得， 又因为，所以， 所以角A为钝角.故选：A． 【变式8-3】（23-24高一下·四川攀枝花·月考）若非零向量与满足，，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】显然是与分别同向的单位向量，由， 得的角平分线与BC垂直，于是， 而，即， 又，因此，所以是等边三角形.故选：D 一、单选题 1．（23-24高一下·广西柳州·月考）已知向量与的夹角为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，则， 可得，解得.故选：C. 2．（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知D是△ABC的边AB的中点，且△ABC所在平面内有一点P，使得，若，则（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【解析】，则，即， .故选：B 3．（22-23高一下·河北石家庄·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】在中，由，得， 即， 因此，即，所以是等腰三角形.故选：C 4．（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知三个单位向量，，满足，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】两边平方得， 因为，，为单位向量，所以，解得.故选：A 5．（23-24高一下·江苏镇江·月考）在平行四边形中，已知，，，点在边上，满足，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【解析】作出图形 设，由图可得：， 所以 因为在平行四边形中，已知，，， 所以，解得，则点在点， 所以， 则,故选：B 6．（23-24高一下·广东茂名·月考）在中，，，，则的周长为（    ） A B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，则、均为单位向量，且与同向，与同向， 可知与的角平分线的方向向量共线， 因为，可知的角平分线与垂直， 即的角平分线与高线重合，所以为等腰三角形，且， 又因为，且，可得， 则边上的高为，. 所以的周长为.故选：B. 二、多选题 7．（23-24高一下·江苏·月考）下列说法正确的是（    ） A．若向量，则向量垂直于向量 B．在中，若，则为等边三角形． C．在中，若，则为等腰三角形． D．已知的外接圆的圆心为，，，为上一点，且有，则 【答案】ABCD 【解析】对于A，若向量， 当为非零向量时，由向量数量积的定义，有，则； 当中有零向量时，由规定零向量与任一向量垂直，也有.故A选项正确； 对于B，若，则，即， 所以，即， 同理可得，即， 所以为等边三角形，B选项正确； 对于C，是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 所以为中的角平分线方向上的一个向量， 又，则中的角平分线垂直于对边， 所以为等腰三角形，C选项正确； 对于D，的外接圆的圆心为，， 则 在上的投影为，有， 同理可得， ，故D选项正确． 故选：ABCD． 8．（23-24高一下·江苏南京·月考）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（ ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为16 【答案】ACD 【解析】对于A，如图，过作直径， 由题意， 所以 为定值，故A正确； 对于B，若为中点，连接，则 ， 由题意，则，故B错误； 对于C，若，故， 则， 又，则，同理可得，故， 故C正确； 对于D，因为，则当弦均与重合时， 此时有最大值，为16，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．（23-24高一下·江苏南通·月考）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【解析】，，， 则，解得， 故， 故向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 10．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 . 【答案】 【解析】设，，则， ，又，， 所以 ． 四、解答题 11．（23-24高一下·湖北·月考）已知，且. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意知，， 又，所以， 由，得，即. 所以，解得. （2），， 设与的夹角为，则， 所以与的夹角的余弦值为. 12．（23-24高一下·山西大同·月考）已知，与的夹角为 (1)求与的值； (2)若与的夹角为钝角，求x的取值范围. 【答案】(1)；；(2) 【解析】（1）因为与的夹角为，所以, , . （2）因为与的夹角为钝角， 所以，即， 又当时，与反向， 所以若与的夹角为钝角， 的取值范围是． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 向量的数量积 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解向量的夹角、向量垂直、投影向量等概念； 2．理解平面向量数量积的含义； 3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题． 知识点1 向量的数量积 1、向量数量积的物理背景 我们知道，如果力与物理位移的夹角为，那么所做的功应为．如果把功看成两个向量与的某种运算结果，那么这个结果是一个数量，它不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量的夹角有关．这时一种新的运算． 2、向量数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积（或内积）． （2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0． 3、投影与投影向量 （1）设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积． 知识点2 向量数量积的性质与运算律 1、向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 2、向量数量积的运算律 （1）；（交换律） （3）；（数乘结合律） （3）；（分配律） （4）平面向量数量积运算的常用公式 考点一：向量数量积的简单计算 例1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·河南周口·月考）设向量，的夹角的余弦值为，，，则（    ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 【变式1-2】（23-24高一下·青海西宁·月考）已知向量满足，且，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式1-3】（23-24高一下·广西百色·月考）（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 考点二：平面几何图形中的数量积 例2.（23-24高一下·重庆荣昌·月考）在中，弦长为2， ． 【变式2-1】（23-24高一下·四川成都·期末）在中，，则（    ） A． B．16 C．32 D． 【变式2-2】（23-24高一下·江西新余·月考）在中，，，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式2-3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知菱形的边长为2，，G是菱形ABCD内一点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 考点三：向量数量积的最值范围 例3.（22-23高一下·重庆渝中·期末）已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·北京东城·月考）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其展开几何图是如图的扇形，其中，，4，点在上包含端点，则的取值范围是 ． 【变式3-2】（23-24高一下·浙江·月考）我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是 . 【变式3-3】（23-24高一下·山西忻州·月考）已知，且，则的取值范围是 . 考点四：利用数量积求向量模长 例4.（23-24高一下·福建厦门·月考）在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一下·山东威海·月考）已知平面向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D．3 【变式4-2】（23-24高一下·山东临沂·月考）已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【变式4-3】（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，且，则 ． 考点五：利用数量积求向量夹角 例5.（23-24高一下·福建龙岩·月考）已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，，均为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数 . 【变式5-3】（23-24高一下·重庆·月考）设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 考点六：利用数量积解决垂直问题 例6.（23-24高一下·江苏南通·月考）设，已知向量与的夹角为，，，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式6-1】（23-24高一下·安徽·月考）已知，，，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一下·江苏宿迁·月考）若，，与的夹角为，且，则的值为 ． 【变式6-3】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）若，且，则 ． 考点七：投影及投影向量求解 例7.（23-24高一下·河南漯河·月考）已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一下·江苏·月考）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一下·天津南开·月考）在中，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 考点八：由数量积判断三角形形状 例8.（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，若，且，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式8-1】（23-24高一下·江苏徐州·月考）是所在平面上一点满足的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式8-2】（23-24高一下·黑龙江大庆·月考）中，设，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【变式8-3】（23-24高一下·四川攀枝花·月考）若非零向量与满足，，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 一、单选题 1．（23-24高一下·广西柳州·月考）已知向量与的夹角为，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知D是△ABC的边AB的中点，且△ABC所在平面内有一点P，使得，若，则（    ） A． B． C．8 D．16 3．（22-23高一下·河北石家庄·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 4．（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知三个单位向量，，满足，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏镇江·月考）在平行四边形中，已知，，，点在边上，满足，则（    ） A． B．0 C． D．1 6．（23-24高一下·广东茂名·月考）在中，，，，则的周长为（    ） A B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·江苏·月考）下列说法正确的是（    ） A．若向量，则向量垂直于向量 B．在中，若，则为等边三角形． C．在中，若，则为等腰三角形． D．已知的外接圆的圆心为，，，为上一点，且有，则 8．（23-24高一下·江苏南京·月考）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（ ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为16 三、填空题 9．（23-24高一下·江苏南通·月考）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为 . 10．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 . 四、解答题 11．（23-24高一下·湖北·月考）已知，且. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值. 12．（23-24高一下·山西大同·月考）已知，与的夹角为 (1)求与的值； (2)若与的夹角为钝角，求x的取值范围. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$