6.2.3-6.2.4 组合与组合数 课件——2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.3-6.2.4 组合与组合数 选择性必修三 第六章 计数原理 1 问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动, 其中1名同学参加上午的活动, 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 甲乙， 甲丙， 乙丙 3 个不同元素中取出2个元素,按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ 从3个不同元素取出2个元素合成一组，一共有多少个不同的组？ 排列问题 组合问题 甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination). 组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列. 排列定义: 组合 甲乙 甲丙 乙丙 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 乙丙，丙乙 排列 问题一和问题二中“排列”和“组合”的对应关系： 共同点: 从n个不同元素中任取m个元素 不同点: 排列“按照一定的顺序排成一列”， 组合“与顺序无关”. 例如: ab与ba是两个不同的排列，但却是同一个组合. 思考1：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗 组合数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为 从4个不同元素中任取3个元素的组合数为 关键：改变顺序结果是否改变 3.校门口停放着9辆共享自行车， ①从中选3辆，有多少种不同的方法? ②从中选3辆给3位同学,有多少种不同的方法? 1. 平面内有A、B、C、D共4个点. (1)以其中2个点为端点的线段共有多少条? (2)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? 思考2：判断下面问题是排列问题还是组合问题？计算结果，并得出排列数 与组合数 之间的关系 2.有A、B、C、D共4个人 (1)从中选3人组成课外数学学习小组. (2)从中选3人分别参加校运动会的3个运动项目. 分步求排列数 第1步，取出m个元素，共有 种取法； 第2步，将m个元素作全排列，共有 种排法. 根据分步乘法计数原理，有 = n，m∈N*，且m≤ n. 组合数公式 用于计算 用于证明 例1 计算： 思考 观察（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现和猜想？能否证明和解释你的猜想？ 类型一 组合数的计算 该性质反映了组合数的对称性. 其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与从n个不同的元素中任取(n-m)个元素的组合是一一对应. 练习1：计算（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 思考：观察练习1的计算结果，你有什么发现和猜想？能否证明和解释你的猜想？ 类型一 组合数的计算 （1）若没有取元素甲，则只需从剩下的n个元素中取出m个元素，所以共有 种取法； （2）若选了元素甲，则只需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有 种取法. 由分类加法计数原理，得 . “(n+1)个不同元素中取m个元素作为一组”可以分为两类： 类型二 组合数性质的应用 190 466 11 例2 在100件产品中, 有98件合格品, 2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1) 有多少种不同的抽法? (2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 类型三 组合数的简单应用 “至少/多”问题——直/间接法(正难则反) 10.从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验. （1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？ 类型三 组合数的简单应用 课本27页 5.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. （1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？