6.2.4 组合数 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.4组合数 人教A版2019必修第三册 组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关. 复习引入 排列数的概念与公式：我们把从n个不同元素中取出m （ m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 其公式为： 问题：能否通过类比得出组合数的概念呢？ 复习引入 组合数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 组合的第一个字母 元素总数 取出元素数 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为 从4个不同元素中任取3个元素的组合数为 符号 中的C是英文combination (组合)的第一个字母. 组合数还可以用符号 表示. 组合数是一个正整数 “一个组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组”，它不是一个数； “组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个非零自然数. 组合与组合数的区别： 问题探究，导出公式 求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到： 第1步：从n个不同元素中取出m个元素作为一组，有 种不同的组合； 第2步：将取出的m个元素作全排列，有 种不同的排列； 最后，根据分布乘法计数原理有 . 这里的n, m∈N*，并且m≤n，这个公式叫做组合数公式. 组合数公式： 另外，我们规定 所以上面的公式还可以写成 环节三：应用举例，解决问题 解：根据组合数计算公式可得： 例1 计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 思考：观察这两组结果，你有什么发现？ 拓展内容1： 在例题中，我们发现 与 ， 与 都是相同的数. 与 与 与 它们的上标之和等于下标 组合数的性质1： 取出m个元素 剩下的n-m个元素 表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数 表示从n个不同元素中取出n-m个元素的组合数 拓展内容1： 等式左边 等式右边 所以左边=右边，证毕. 证明组合数性质1： 性质1 性质2 组合数的性质： 330 5 因此x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16， ∴x＝－3(舍)或x＝5. 例 在100件产品中, 有98件合格品, 2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1) 有多少种不同的抽法? (2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 解： (1) 所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为 (2) 从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 （3）解1(直接法)： 解2(间接法)： 抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 课堂小结 1.组合数的定义和表示 把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，并用符号 表示. 2.组合数的公式 3.组合数的性质 课堂练习（课本P25） 解： 1. 计算： 证明： 2. 求证： 3. 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩. (1) 共有多少种不同的选法? (2) 如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法? (3) 如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法? 解： ∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*，∴n＝10， 训练2 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 题型三　与几何有关的组合问题 例3 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 训练4 大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的10个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时填报，则该考生有________种不同的填报专业志愿的方法(用数字作答). 672 创新设计习题讲解 ——分层精练 7 索引 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新设计习题讲解 ——每日一刻钟 7 315 1 2 3 3.在∠MON的边OM上有5个异于O的点，ON上有4个异于O的点，以这10个点(含O)为顶点，可以得到多少个三角形？ 1 2 3 ON上的5个点(含O)中任取三点也不能得到三角形. 1 2 3 练1 (1)计算Ceq \o\al(3,3)＋Ceq \o\al(3,4)＋Ceq \o\al(3,5)＋…＋Ceq \o\al(3,10)的值为________. (2)方程Ceq \o\al(x,17)－Ceq \o\al(x,16)＝Ceq \o\al(2x＋2,16)的解是________. 所以Ceq \o\al(0,3)＋Ceq \o\al(1,4)＋Ceq \o\al(2,5)＋…＋Ceq \o\al(18,21)＝(Ceq \o\al(0,4)＋Ceq \o\al(1,4))＋Ceq \o\al(2,5)＋…＋Ceq \o\al(18,21) ＝(Ceq \o\al(1,5)＋Ceq \o\al(2,5))＋Ceq \o\al(3,6)＋…＋Ceq \o\al(18,21)＝…＝Ceq \o\al(18,22)＝Ceq \o\al(4,22)＝7 315. 一个顶点在OM上，两个顶点在ON上的有Ceq \o\al(1,5)Ceq \o\al(2,4)个. 所以由分类加法计数原理，共有Ceq \o\al(1,5)Ceq \o\al(1,4)＋Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(1,4)＋Ceq \o\al(1,5)Ceq \o\al(2,4)＝5×4＋10×4＋5×6＝90(个). 故共可以得到Ceq \o\al(3,10)－Ceq \o\al(3,6)－Ceq \o\al(3,5)＝120－20－10＝90(个)三角形. $$