1.2.5 空间中的距离 第2课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.5 空间中的距离 第2课时 新授课 1.理解点到平面、相互平行的直线与平面、相互平行的平面与平面之间的距离的概念 2.会用向量法求距离. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点一：点到平面的距离 思考：平面外一点到该平面的距离如何用线段表示？ 给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离. 问题：如图，点A是平面α外一点，若AA'是平面α的垂线段(即A'为A在平面α内的射影)，则平面α内不同于A'的任意一点B，则线段AB与AA′有怎样的大小关系？ ∴AB>AA′ ∵AB与AA'分别是Rt△AA'B的斜边与一条直角边， 点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考： (1)在图中，设n0是平面α的一个单位法向量(即|n0|=1)，因为 AA'⊥α，所以表示n0的有向线段可以在直线AA'上，则·n0表示什么？ ·n0和AA'之间有何关系？ 因为a与b的数量积等于a在b上的投影的数量与b的长度的乘积，而n0是平面α的一个单位法向量， 所以·n0等于在n0上的投影的数量. 因此，有·n0=A'A. 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)一般情况下，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，如何根据和平面α的一个法向量n表示出点A到平面α的距离？ 一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量， 则点A到平面α的距离 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个边长为1的正方形，PA⊥面ABCD，PA=1，求点D到平面PBC的距离. 解：依题意，AB，AD，AP是两两互相垂直的.以A为原点，，， 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 所以 =(0，1，0)，=(-1，0，1)，=(0，1，-1) B(1，0，0)，C(1，1，0) D(0，1，0)，P(0，0，1) 则 新课讲授 学习目标 课堂总结 令z=1，则得x=1，y=0，此时n=(1，0，1). 因为 所以点D到平面PBC的距离为. 设平面PBC的一个法向量为n=(x，y，z)，则 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：如何借助或来计算点D到平面PBC的距离？ 借助：因为平面PBC的一个法向量n=(1，0，1)，且=(-1，0，0)，所以 借助：因为平面PBC的一个法向量n=(1，0，1)，且=(-1，0，0)，所以 新课讲授 学习目标 课堂总结 向量法求点到平面的距离的步骤： 归纳总结 (1)根据条件合理建立空间直角坐标系，并求出相应点的坐标； (2)求出相应平面内不共线的两个向量及点到这个平面的一条斜线段的向量； (3)利用方程组求出平面的一个法向量； (4)利用公式求出点到平面的距离； (5)写出所求问题的结论. 新课讲授 学习目标 课堂总结 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离； 当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离. 知识点二：线面距、面面距  A l β 新课讲授 学习目标 课堂总结 一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段.  A l β 公垂线 显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离，都可以归 结成点到平面的距离.结合前面所学知识，回答下列问题： （1） 如图所示，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量， A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离可以如何表示？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 （2） 如图所示，如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量（当然也是平面α的一个法向量），A和B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离可以如何表示？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分别为A1B1，AD，CC1的中点，判断直线AC与平面EMN的关系.如果平行，求出AC与平面EMN之间的距离；如果不平行，说明理由. 解：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、x轴正方向，正方体的棱长为2个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.