第1章 11-专题专项练-专题强化练3 利用空间向量解决探索性问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，专题强化利用空间向量解决探索性问题，通过直三棱柱、折叠梯形等实例，从向量坐标、法向量等基础入手，搭建从知识应用到综合探究的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是以典型几何体问题为载体，培养学生用数学眼光观察空间形式，用数学思维推理参数关系（如设参求点、方程求解），用数学语言表达空间逻辑。采用问题链设计，助力学生提升空间观念与探究能力，为教师提供系统专题素材，提高教学效率。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练3 利用空间向量解决探索性问题 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026天津建华中学月考]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=3,M,N分别为棱 AB,B1C1的中点,BC1与B1C交于点P. (1)求直线AA1与平面A1CM所成角的正弦值; (2)求直线BC1到平面A1CM的距离; (3)在线段A1N上是否存在点Q,使得PQ∥平面A1CM?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得AA1,AB,AC两两相互垂直.以A为坐标原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正 方向建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),A1(0,0,3),C(2,0,0),M(0,1,0),B(0,2,0),P ,N(1,1,3). (1)易得 =(0,0,3), =(2,0,-3), =(0,1,-3). 设平面A1CM的法向量为n=(x,y,z), 则 令z=2,得n=(3,6,2). 所以cos< ,n>= = . 所以直线A    A1与平面A1CM所成角的正弦值为 . (2)连接AC1,交A1C于点G,连接GM(图略). 第1讲　描述运动的基本概念 易得G为AC1的中点,又M为AB的中点,所以GM是△AC1B的中位线,所以BC1∥GM, 又GM⊂平面A1CM,BC1⊄平面A1CM, 所以BC1∥平面A1CM. 所以直线BC1到平面A1CM的距离等于点B到平面A1CM的距离. 易得 =(0,-2,3). 由(1)得平面A1CM的一个法向量为n=(3,6,2). 所以点B到平面A1CM的距离d= = , 所以直线BC1到平面A1CM的距离为 . (3)设 =λ (0≤λ≤1),则 = + = +(λ,λ,0)= . 第1讲　描述运动的基本概念 由(1)知平面A1CM的一个法向量为n=(3,6,2). 因为PQ∥平面A1CM,所以 ·n=0,即3×(λ-1)+6×(λ-1)+2× =0,解得λ= ,所以线段A1N上存在点Q,使得PQ ∥平面A1CM,此时 = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026广东广州第七十五中学阶段性测试]如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,四边形ABCE 是边长为4的菱形,且∠BCE=60°.以BE为折痕将△BCE折起,使点C到达点C1的位置,且AC1=2 ,如图2. (1)证明:平面BC1E⊥平面ABED; (2)在棱DC1上是否存在点P,使得P到平面ABC1的距离为 ?若存在,求出直线EP与平面ABC1所成角 的正弦值;若不存在,请说明理由.        第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:取BE的中点F,连接AF,C1F. 因为在题图1中,四边形ABCE是边长为4的菱形,且∠BCE=60°,所以在题图2中,△ABE,△BEC1均为边长 为4的等边三角形,所以AF⊥BE,C1F⊥BE,且AF=C1F=2 . 又AC1=2 ,所以AF2+C1F2=A ,所以AF⊥C1F. 又因为AF∩BE=F,AF,BE⊂平面ABED, 所以C1F⊥平面ABED. 因为C1F⊂平面BEC1,所以平面BC1E⊥平面ABED. (2)由(1)得,AF,C1F,BE两两互相垂直.建立空间直角坐标系Fxyz,如图所示,   第1讲　描述运动的基本概念 易得A(2 ,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2 ),E(0,-2,0),D( ,-3,0),所以 =(-2 ,2,0), =(-2 ,0,2 ), =(-  ,3,2 ). 设 =λ ,λ∈[0,1],则P( - λ,3λ-3,2 λ), 所以 =( - λ,3λ-3,2 λ-2 ). 设平面ABC1的法向量为v=(x,y,z), 则  令x=1,则y= ,z=1,故v=(1, ,1), 则点P到平面ABC1的距离d=  =  第1讲　描述运动的基本概念 = ,解得λ= 或λ= (舍去), 则P ,所以 = . 设直线EP与平面ABC1所成的角为θ, 则sin θ=|cos< ,v>|= = = , 所以在棱DC1上存在点P,使得P到平面ABC1的距离为 ,此时直线EP与平面ABC1所成角的正弦值为  . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026北京第五中学期中]如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=AC=PC=4,PA=PB=2 ,M是线段PC上的 点. (1)求证:平面ABP⊥平面ABC; (2)若直线PM与平面ABM所成角的正弦值为 ,求PM的长; (3)若MQ⊥平面ABC,Q在平面ABC上,直线PQ与平面ABM的交点为N,当三棱锥M-ABQ的体积最大时,求 PN的长.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:取AB的中点O,连接OC,OP. 因为PA=PB,所以PO⊥AB. 因为PA=PB=2 ,AB=4,所以PA2+PB2=AB2,所以PA⊥PB,所以PO= AB=2. 因为AB=BC=AC=4,所以OB⊥OC, 所以OC= = =2 . 又因为PO2+CO2=PC2,所以PO⊥OC. 因为AB∩OC=O,AB,CO⊂平面ABC,所以PO⊥平面ABC.又PO⊂平面APB,所以平面ABP⊥平面ABC. 第1讲　描述运动的基本概念   (2)由(1)得,OB,OC,OP两两互相垂直,所以以点O为坐标原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正 方向建立空间直角坐标系,则A(-2,0,0),B(2,0,0),C(0,2 ,0),P(0,0,2),所以 =(0,2 ,-2), =(-2,0,2), = (4,0,0). 因为M为棱PC上的点, 所以设 =λ =(0,2 λ,-2λ),其中0≤λ≤1, 所以 = + =(-2,2 λ,2-2λ). 第1讲　描述运动的基本概念 设平面ABM的法向量为m=(x,y,z), 则  令y=λ-1,得m=(0,λ-1, λ). 由题意得|cos<m, >|= = ,化简并整理,得4λ2-2λ-1=0,解得λ= 或λ= (舍 去),所以PM=λPC=1+ . (3)设 =m ,0<m<1, 结合(2)知M(0,2 m,2-2m). 因为MQ⊥平面ABC,所以Q(0,2 m,0), 所以S△ABQ= ·AB·2 m=4 m, 第1讲　描述运动的基本概念 所以VM-ABQ= ×4 m×(2-2m)= m·(1-m)≤ × = ,当且仅当m=1-m(0<m<1),即m= 时,等 号成立, 所以当点M为线段PC的中点时,三棱锥M-ABQ的体积取得最大值 ,此时Q(0, ,0). 结合(2)知平面ABM的一个法向量u=(0,-1, ). 设 =μ =(0, μ,-2μ),其中0<μ<1,则 = + =(-2, μ,2-2μ). 因为BN⊂平面ABM,所以 ⊥u, 所以 ·u=- μ+2 (1-μ)= (2-3μ)=0,解得μ= ,所以 = ,所以| |= ,所以三棱锥M- ABQ的体积最大时,PN的长为 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025四川名校联盟联考]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,且AB= BD=2CD=4,侧面PCD是正三角形,侧面PCD⊥底面ABCD,E为PC的中点,EF⊥PB交PB于F. (1)求证:PB⊥平面DEF; (2)求二面角D-PB-C的余弦值; (3)在平面DEF内是否存在点Q,使得 · =0?若存在,求出动点Q的轨迹长度;若不存在,请说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,所以BC⊥CD. 因为侧面PCD⊥底面ABCD,侧面PCD∩底面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面PCD. 又DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE. 因为侧面PCD是正三角形,E为PC的中点, 所以DE⊥PC. 又BC∩PC=C,BC,PC⊂平面PBC, 所以DE⊥平面PBC. 又DE⊂平面DEF,所以平面DEF⊥平面PBC. 因为EF⊥PB,平面DEF∩平面PBC=EF,PB⊂平面PBC,所以PB⊥平面DEF. (2)结合(1),建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0,0,0),B(0,2 ,0),P(1,0, ),D(2,0,0), 第1讲　描述运动的基本概念 所以 =(0,2 ,0), =(1,0, ), =(-1,2 ,- ), =(-1,0, ). 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), 则  令x= ,得m=( ,0,-1). 设平面PBD的法向量为n=(a,b,c), 则  第1讲　描述运动的基本概念 令a= ,得n=( ,1,1). 所以|cos<m,n>|= = = . 由图可知,二面角D-PB-C为锐二面角,所以二面角D-PB-C的余弦值为 . (3)假设存在满足题意的点Q. 因为 · =0,所以 ⊥ ,所以点Q在以AB为直径的球与平面DEF的交线上. 取AB的中点O,连接OD,则结合(2)知O(2,2 ,0), 所以 =(0,2 ,0). 由(1)知, =(-1,2 ,- )是平面DEF的一个法向量,所以点O到平面DEF的距离为 = =3. 因为3> =2,所以以AB为直径的球与平面DEF不相交,故不存在点Q,使得 · =0. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026浙江舟山五校联考]定义:若一个四面体A-BCD的三组对棱分别相等(即AB=CD,AC=BD,AD=BC), 则称该四面体为空间菱形.如图,已知空间菱形A-BCD中,AB=a,AC=AD= . (1)若平面ABC⊥平面ABD,求实数a的值; (2)在(1)的条件下,求该空间菱形A-BCD的体积; (3)若a= ,那么在棱CD上是否存在一点P,使得平面ABP与平面ABC所成的角为 ?若存在,求出 的 值;若不存在,请说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)取AB的中点E,连接CE,DE, 因为四面体A-BCD为空间菱形,所以AC=AD=BD=BC= ,AB=CD=a, 根据等腰三角形的性质可知CE⊥AB,DE⊥AB,所以∠CED是二面角C-AB-D的平面角,当平面ABC⊥平 面ABD时,有∠CED= , 由CE⊥AB,DE⊥AB,AC=AD=BD=BC= ,AB=CD=a, 可得CE=DE= = ,因为∠CED= ,所以CE2+DE2=CD2,即3- +3- =a2,所以a=2.   第1讲　描述运动的基本概念 (2)由(1)可知CE⊥AB,DE⊥AB,因为DE∩CE=E,DE,CE⊂平面DEC,所以AB⊥平面DEC, 由(1)可知a=2,所以CE=DE= = , 所以空间菱形A-BCD的体积为 S△ECD·AB= × × × ×2= . (3)把空间菱形A-BCD放在长方体AGDF-OCHB中,并以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,   第1讲　描述运动的基本概念 设OB=b,OC=c,OA=d,由长方体的性质可得 ⇒  于是A ,B ,C ,D ,故 = , = 0, ,-   , 设棱CD上存在一点P,使得平面ABP与平面ABC所成的角为 ,设P(k,m,n),且 =λ (λ∈[0,1]),(关键点: 根据三点共线设参) 则 =λ  ,0,  ,可得P  λ, , λ ,所以 =  λ, , λ-  , 设平面ABC的法向量为m=(x,y,z), 第1讲　描述运动的基本概念 则 ⇒  取x=1,得m=(1, ,1), 设平面ABP的法向量为n=(x1,y1,z1), 则 ⇒  取x1=1,得n=(1, (1-2λ),1), 因为平面ABP与平面ABC所成的角为 , 第1讲　描述运动的基本概念 所以|cos<m,n>|= = ⇒ = ⇒3λ2-6λ+2=0,解得λ= ,因为λ∈[0,1], 所以λ= , 因此在棱CD上存在一点P,使得平面ABP与平面ABC所成的角为 ,此时 = . 第1讲　描述运动的基本概念 $