1.2.4 二面角 第2课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.4 二面角 第2课时 新授课 1.理解平面的法向量的夹角与两平面夹角的关系. 2.会用平面的法向量求两个平面的夹角. 新课讲授 学习目标 课堂总结 回顾：空间中，直线和平面的夹角是如何求得的？ cos θ =sin〈v，n〉，sinθ=|cos〈v，n〉|. 平面和平面的夹角大小如何求？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，观察下图，θ与〈n1，n2〉之间有什么关系？ θ =〈n1，n2〉 θ =π-〈n1，n2〉 知识点：用空间向量求二面角的大小 sin θ =sin〈n1，n2〉 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：若平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，如何计算二面角θ大小？ 当〈n1，n2〉为锐角时，θ =〈n1，n2〉，cosθ = cos〈n1，n2〉； 当〈n1，n2〉为钝角时，θ = π-〈n1，n2〉，cosθ = -cos〈n1，n2〉. 恒有 由此可得二面角θ的大小. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 设平面α的一个法向量m=(1，1，0)，平面β的一个法向量为n=(1，0，-1)， 求二面角α-l-β的大小. 解：∵m=(1，1，0)，n=(1，0，-1) ∴〈m，n〉=60°，则二面角α-l-β的大小为60°或120°. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 如图所示，已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥面ABCD，ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，且SA=AB=BC=3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值. 解：依题意，AD，AB，AS两两互相垂直，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，AD的长为单位长度，建立如所示的空间直角坐标系. 所以=(1，0，0)，=(-1，0，3)，=(2，3，0). 显然，AD是平面SAB的一个法向量. S A B C D A(0，0，0)，S(0，0，3)，C(3，3，0)，D(1，0，0)， 则 新课讲授 学习目标 课堂总结 设平面SCD的一个法向量为n=(x，y，z)， 因为 所以可知所求角的正弦值为 令x=3，可得y=-2，z=1，此时n=(3，-2，1). 则 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 如图所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，且D是AA1的中点.求平面BDC与平面BDC1所成角的大小. 解：依题意，CA，CB，CC1两两互相垂直. 所以 =(0，1，0)，=(1，0，1)， =(-1，0，1)，=(0，-1，2) C(0，0，0)，B(0，1，0)， D(1，0，1)，C1(0，0，2)， 则 以C为原点，，，的 方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 新课讲授 学习目标 课堂总结 设平面BDC的一个法向量为n=(x1，y1，z1)， 令z1=1，则得x1=-1，y1=0，此时n=(-1，0，1). 设平面BDC1的一个法向量为m=(x2，y2，z2)， 令z2=1，则得x2=1，y2=2，此时m=(1，2，1). 因为 n·m=(-1)×1+0×2+1×1=0， 所以(n，m)=90°，可得平面BDC与平面BDC1所成角的大小为90°， 即这两个平面是互相垂直的. 则 则 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 向量法二面角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)写出必要点的坐标； (3)求出两组有公共顶点的棱(线段)的方向向量； (4)分别求出两个平面的法向量； (5)求出向量夹角的三角函数值； (6)写出结论. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，求平面A1ED与平面ABCD所成的角的余弦值. 解：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E(1，0，)，D(0，1，0)， ∴=(0，1，-1)，(1，0，)， 则 令x=1，则y=2，z=2， ∴n1=(1，2，2). 设平面A1ED的一个法向量为n1=(x，y，z)， 新课讲授 学习目标 课堂总结 ∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0，0，1)， ∴cos<n1，n2>==， 即平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为. 新课