1.2.3 直线与平面的夹角 第2课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.3 直线与平面的夹角 第2课时 新授课 1.理解直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系. 2.会利用空间向量求直线与平面的夹角. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：如图所示，如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ. (1)〈v，n〉在图中如何表示？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)θ 与〈v，n〉有什么关系？ cos θ =sin〈v，n〉，sinθ=|cos〈v，n〉|. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 已知ABCD-A′B′C′D′是正方体，求B′D′与平面A′BCD′所成角的大小. 解：(方法一)以D为原点， ，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示直角坐标系. 所以 A′(1，0，1)，B(1，1，0)， D′(0，0，1)，B′(1，1，1)， 可得： 新课讲授 学习目标 课堂总结 设平面A′BCD′的一个法向量为n=(x，y，z) ， 又因为 则 取=1，可得n=(0，1，1) 所以 即B′D′与平面A′BCD′所成角θ的大小为： 新课讲授 学习目标 课堂总结 (方法二)设A′B的中点为E，连接B′E,D′E如图所示， ∵ABB′A′是正方形，∴B′E⊥A′B 又∵D′A′⊥面ABB′A′，且B′E⊂面ABB′A′，∴D′A′⊥B′E. 再根据D′A′∩A′B=A′，可知B′E⊥面A′BCD′ 因此B′D′在面A′BCD′内的射影为D′E， ∴∠B′D′E就是B′D′与平面A′BCD′所成的角. 又∵∠B′D′E是一个锐角，∴∠B′D′E=， 即B′D′与平面A′BCD′所成角的大小为. ∵正方体中有B′D=2B′E，∴在Rt△B′ED′中，sin∠B′D′E= 新课讲授 学习目标 课堂总结 用空间向量法解答的基本步骤： (1)建系，写出相关点的坐标. (2)求直线方向向量a及平面法向量n. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的三角函数值. (4)结合图形(角的关系)及三角函数值关系确定角的值，并写出结论. 归纳总结 新课讲授 学习目标 课堂总结 用几何推理法解答的基本步骤： (1)找到(或作出)斜线(斜线段)上一点到平面的垂线(或垂线段)，并证明. (2)找到(或作出)斜线(斜线段)在平面内的射影，并确定线面角. (3)根据题目条件解直角三角形，经计算(或推理)得到角的值. (4)写出结论. 新课讲授 学习目标 课堂总结 空间向量法 几何推理法 优点 缺点 两种方法的比较 ①不用做图； ②几何问题代数化，难度降低； ③有固定的相应公式，可直接代入计算； 计算量小，不易 出现计算失误 画图困难或不正确 计算量大，计算容易失误 新课讲授 学习目标 课堂总结 如图，已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点，求SN与平面CMN所成角的大小. 练一练 解：设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则C(0，1，0)，M(1，0，)，N(，0，0)，S(1，，0) 所以=(1，-1， )(，1，0)， 新课讲授 学习目标 课堂总结 设a=(x，y，z)为平面CMN的法向量 所以SN与平面CMN所成角的大小为45°. 则 即 令x=2，得a=(2，1，-2)为平面CMN的一个法向量. 因为 =(1，-1， )，(，1，0). 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1.直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角有什么关系? 2.求直线与平面的夹角有几种方法？基本步骤是什么？分别各有什么优缺点？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$