1.2.2 空间中的平面与空间向量 第1课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.2 空间中的平面与 空间向量 第1课时 新授课 1.理解平面法向量的概念，会求平面的法向量. 2.会用平面的法向量、直线的方向向量证明线面、面面的平行、垂直关系. 新课讲授 学习目标 课堂总结 空间中的直线，根据它的方向向量和一个点，可以描述这条直线的位置.那么，对于空间中的平面，能否引进类似的向量来描述其位置？ 知识点一：平面的法向量 A v 新课讲授 学习目标 课堂总结 升国旗时，旗杆的位置可以确定操场所在平面的位置. 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量. 此时，n与平面α垂直，记作n⊥α. α n 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：在如图所示长方体中，平面ABCD和平面ADD1A1的法向量分别有哪几个？ 平面ABCD的法向量： 平面ADD1A1的法向量： 新课讲授 学习目标 课堂总结 性质1：如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是 平面α的一个法向量 思考：(1)如图所示，直线l⊥平面α，其中向量v1，v2，v3均为直线l的方向向量，则向量v1，v2，v3与平面α有什么关系？ α v1 v3 v2 l ∵向量v1，v2，v3为直线l的方向向量, 又∵直线l⊥平面α, ∴v1⊥平面α，v2⊥平面α，v3⊥平面α. ∴v1//l，v2//l，v3//l. 即v1，v2，v3为平面α的法向量. 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)如图所示，如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn与平面α有什么关系？ α n λn 性质2：如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行. ∵n是平面α的一个法向量， ∴n⊥平面α. 又∵λn和n共线， ∴λn⊥平面α， 即λn也是平面α的一个法向量. 新课讲授 学习目标 课堂总结 性质3：如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n=0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. α n A B 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考3： (1)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，当n//v与n⊥v时，直线l与平面α分别有什么关系？ n//v ⇔ l⊥α; n⊥v ⇔ l//α或l⊂α. 知识点二：判断线面、面面的垂直、平行关系 新课讲授 学习目标 课堂总结 n1//n2 ⇔ α1⊥α2； n1⊥n2 ⇔ α1//α2，或α1与α2重合. (2)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，当n1⊥n2与n1//n2时，平面α1与平面α2分别有什么关系？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题3：设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，完成下列表格. 位置关系 向量关系 向量运算关系 坐标关系 l⊥m l⊥α α⊥β a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a∥u a＝λu，λ∈R a1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3 u⊥v u·v＝0 u1v1＋u2v2＋u3v3＝0 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B与A1C1的中点． 求证：MN//面ADD1A1. 证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向， 正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 又因为M是A1B的中点，所以M的坐标为 即M(，0，).类似地，可得N(，，1).因此=(0，，). B(1，0，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)， 则 新课讲授 学习目标 课堂总结 又因为AB⊥面ADD1A1，所以是平面ADD1A1的一个法向量，而且=(1，0，0). 即，由图可知MN不在平面ADD1A1内， 因此 MN//面ADD1A1. 因此 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中，O(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc≠0，求平面ABC的一个法向量. 解：由已知可得 =(0，b，0)-(a，0，0)=(