1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 第2课时课件——2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 第2课时 新授课 1.理解两直线所成的角与它们的方向向量的夹角的关系，会用向量求两条直线所成的角. 2.会用向量证明两条直线垂直. 新课讲授 学习目标 课堂总结 两条相交直线所成角的大小，即相交所得到的不大于直角的角的大小； 两条异面直线a，b所成角的大小，即两条相交直线a'，b'所成角的大小， 其中a'∥a且b'∥b. 知识点一：两直线所成的角与它们的方向向量的夹角的关系 回顾：空间中两条直线的位置分为几种情况？不同情况下两条直线的 夹角大小如何确定？ α a b a' b' θ 规定：两条平行直线所成角的大小为0°. 当空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，l与m垂直，记作l⊥m. 平行（重合），相交，异面. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，观察下图讨论θ与〈v1，v2〉的关系. θ =π-〈v1，v2〉. 特别的，sin θ=sin〈v1，v2〉，cos θ=|cos〈v1，v2〉|. l1⊥l2 〈v1，v2〉= v1•v2=0. θ =〈v1，v2〉 v1 v2 〈v1，v2〉 θ v1 v2 〈v1，v2〉 θ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 已知a，b是平面α内的两条相交直线，直线n满足n⊥a，n⊥b. 求证：n⊥α. 证明：设m是α内的任意一条直线，且n，a，b，m分别为直线n，a， b，m的方向向量，如图所示. 因为a与b相交，所以a，b不共线，又因为a，b，m共面，所以由共面向量定理可知，存在唯一的实数对(x，y)，使m=xa+yb， 从而可知n⊥m，所以n⊥m. 因为直线n垂直于平面α内的任意一条直线，所以n⊥α. 根据已知有 n·a=0，n·b=0 因为 n·m=xn·a+yn·b=0， 新课讲授 学习目标 课堂总结 已知A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(-1，0，-1)，(2，1，1)，点的坐标是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，求点P的坐标． 练一练 解：根据题意，可得 ∵PA⊥平面ABC， ∴ 且 ，可得 ， 解之得x=-1，y=2，可得P的坐标是(-1，0，2)． 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 如图，在三棱锥O-ABC中，OA， OB，OC两两垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2， 求直线AE与BC所成角的余弦值的大小. 解：(方法一) 根据已知可得，， 不共面，且 所以 又因为 =1， =2， = = =0 新课讲授 学习目标 课堂总结 因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为. 所以 新课讲授 学习目标 课堂总结 (方法二)因为OA，OB，OC两两互相垂直，所以能以O为原点， ， ，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示直角坐标系， 从而〈〉=，因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为. 所以=(-1，0，1)， =(0，-2，2) ， 又因为 由OB=OC=2OA=2，可知 A(1，0，0)，E(0，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，2)， 新课讲授 学习目标 课堂总结 (方法三)设OB的中点为F，连接EF，AF.由E，F分别为OC，OB中点可知EF为OBC的中位线，从而EF//BC，因此直线AE与BC所成角的大小等于直线AE与EF所成角的大小. 又易知OA=OE=OF=1，而且OA，OE，OF两两垂直，因此 AE=EF=AF= =， 所以是等边三角形，从而， 因此，直线AE与BC所成角的大小为. 新课讲授 学习目标 课堂总结 求解异面直线夹角方法: (1)定义法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解. 归纳总结 (2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则和可分 别为a，b的方向向量，则 新课讲授 学习目标 课堂总结 运用向量法常有以下两种途径: ①基底法 在一些不适合建立坐标系的题型中，采用取定基底的方法求解.再由公式