6.3 利用导数解决实际问题课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.3 利用导数解决实际问题 新授课 在生活中人们经常会遇到最优化的问题. 例如，在铺设管道或者公路时，怎样使花费最少？在制作容器时，怎样使得用量最少？经济活动中，怎样使得经营成本最小？等等. 这些问题都需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，因此数学上都称为最优化问题. 因为利用导数可以求得最值，所以可以利用导数来求解最优化问题，下面我们举例说明． 新课讲授 学习目标 课堂总结 能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 3 情境：如图所示，海中有一座油井A,其离岸的距离AC=1.2 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC=1.6 km ，现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？ 海 陆 知识点 1：利用导数解决最优化问题 新课讲授 学习目标 课堂总结 探究：分别计算下列两种算法的铺设成本. (1)先沿AC铺设，再沿CB铺设； (2)直接沿着线段AB铺设. 解：(1) 成本为万元. (2) 所以直接沿线段AB铺设，成本为 2×50=100万元. 海 陆 情境：AC=1.2 km，BC=1.6 km ，已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？ 还有其他方案吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 在岸上取一点D，设其距离C的距离为，则 ， . 设先沿AD铺设再沿DB铺设输油管时成本为万元， 则1.6 海 陆 情境：AC=1.2 km，BC=1.6 km ，已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？ 因此，当 时， 新课讲授 学习目标 课堂总结 海 陆 情境：AC=1.2 km，BC=1.6 km ，已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？ 当 时， 令 可解得 可知在上递减，在上递增，从而在时取得最小值，而且最小值为 1.6 最少花费是96万元. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300km，现有一批药品要尽快送达海岛码头，已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车的时速为130km，快艇时速为50km. 试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？ 典例剖析 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：OB=150 km，AB=300km，汽车的时速为130km，快艇时速为50km. 试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？ 解：设点C与点B的距离为km，运输时间为T()h，则 . 因为 ， 令可解得. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：OB=150 km，AB=300km，汽车的时速为130km，快艇时速为50km. 试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？ 因此可知在上递减，在上递增， 从而在最小值. 这就是说，点C选在离点B点为时可使运输时间最短. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：如图所示，先有一块边长为1.2 m的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相同的小正方形，然后做成一个长方形的无盖容器，则容器的容积V m3 立方是截下的小正方形边长x m的函数. (1)写出函数解析式； (2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？ 典例剖析 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：容器的容积V m3 立方是截下的小正方形边长x m的函数. (1)写出函数解析式； 解：(1)根据题意可知，容器底面的边长为(1.2m，高为m ，于是 又因为显然的长度必须小于原有正方形铁板的一半，因此， 所以. 注意：函数的单调区间应联系问题的实际意义确定. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：容器的容积V m3 立方是截下的小正方形边长x m的函数. (2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？ 解：(2)由题意有 . 令可解得 因此可知在上递增，在上递减， 故在时取得极大值，而且在此时取得最大值. 即截去的正方形边长为m时，容器的容积最大. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 利用导数解决实际问题的一般步骤： (1)抽象出实际问题的数