6.2.2 导数与函数的极值、最值 第1课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.2.2 导数与函数的极值、最值 第 1 课时 新授课 理解极值、极值点的概念； 结合函数图象理解函数的极值与导数之间的关系，并了解函数在某点取得极值的充要条件； 掌握求函数极值的方法. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：极值、极值点的概念 情境：在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点. 观察图中函数的图像，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，尝试用数学语言描述. x y y = f (x) O 新课讲授 学习目标 课堂总结 x y y = f (x) O 从图中可以看出，函数在这三点对应的函数值，都是其附近的函数值中的最大者；而在这两点对应的函数值,都是其附近的函数值之中的最小者. 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 极值点与极值 一般地，设函数的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1)，则称x0为函数的一个极大值点，且在x0处取极大值，例如a和； (2)，则称x0为函数的一个极小值点，且在x0处取极小值，例如b和. x y y = f (x) O 极大值 极小值 a 极大值点 极小值点 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 极值点与极值 极大值点与极小值点都称为极值点； 极大值与极小值都称为极值. 显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小. 思考：极值点是一个点吗？ x y y = f (x) O 极大值 极小值 a 极大值点 极小值点 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：在一个函数中，极大值一定比极小值大吗？ 由概念可知，函数的极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质，并且一个函数可以有若干个极大值与极小值. 如图，函数 y = f (x) 的极小值 f (a) 大于极大值 f (d)；极大值 f (b) 大于极小值 f (c)；即函数的极大值与极小值没有必然的大小关系. 新课讲授 学习目标 课堂总结 探究：从图所示的函数图像中可以看出，A，B，C，D对应的横坐标都是函数的极值点，已知曲线在A，B，C，D处都存在切线. (1)A，B，C，D处的切线具有什么特征？这说明在处的导数具有什么特点？ x y y = f (x) O A B C D 图中可以看出，曲线在A，B，C，D处的切线都是水平的，这等价于 知识点 2：可导函数的极值与导数的关系 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)曲线在A，B，C，D附近的点处的切线具有什么特征？ x y y = f (x) O A B C D 在A点与C点左侧的附近，曲线的切线斜率都大于零，在右侧的附近曲线的切线斜率都小于零；在B点与D点的附近则正好相反，因此在两侧附近的符号不一样. 思考：若有，则一定是函数的极值点吗？ 归纳：一般地，如果是的极值点，且在处可导，则必有 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：已知，求所有使得的，并判断所求得的数是否为函数的极值点. 典例剖析 解：因为， 令，可解得 但0不是的极值点，因为，而0左侧点的函数值总是小于0，且0右端的点的函数值总是大于0. x y O 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 一般地，设函数在处可导，且. (1)如果对于左侧附近的任意x，都有，对于右侧附近的任意x，都有 ，那么此时是的极大值点. (2)如果对于左侧附近的任意x，都有，对于右侧附近的任意x，都有 ，那么此时是的极小值点. (3)如果在的左侧附近与右侧附近同号（均为正号或均为负号），则一定不是的极值点. 由正变负 由负变正 判断极值点 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 函数 f (x) 的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. 判断函数 y = f (x) 的极值的充要条件： ① ；② 在 x = x0 两侧异号； 解：函数 f (x) 的极值点有：x2 和 x4，其中极大值点为 x2 ，极小值点为 x4. 注意：虽然 f ′(x6) = 0，但 f ′(x) 在 x = x6 两侧同号，故不是极值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：已知函数，求函数的极值，并作出函数图像的示意图. 解：由题意可得 . 解方程，可得或. 解方程，可得或，此时递增. 解方程，可得，此时递减. 因此，在()上递增，在(-2,2)上递减，在()上递增. 求导 求导数零点 解不等式 判断单调性 知识点 3：求函数的极值 新课讲授 学习目标 课堂总结 （↗表示递增，↘表示递减）