6.2.1 导数与函数的单调性 第2课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.2.1 导数与函数的单调性 第 2 课时 新授课 回顾：判定函数单调性的步骤. 定义域优先 求导数 解不等式 确定单调区间 新课讲授 学习目标 课堂总结 能用导数确定函数的单调区间； 能解决导函数与原函数的图像关系问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 3 知识点 1：用导数求函数的单调区间 例 1：求函数的单调区间. 典例剖析 解：根据题意有， 令，可得或； 令，可得； 综上，函数的单调递增区间为和 ， 单调递减区间为. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：求函数的单调区间. 典例剖析 解：根据题意，函数的定义域为[0,1]， 又. 令，可得； 令，可得； 因此，函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为. 注意：不要忽略函数的定义域. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 求函数的单调区间. 解：根据题意有， 令，可得， 因为恒成立，所以0，因此； 令，可得，解不等式可得； 综上，函数的单调递增区间为， 单调递减区间为. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3：讨论函数的单调性，其中a为实常数. 典例剖析 解：根据题意，函数的定义域为， 又， 令，可得， ①当，即时， 恒成立，此时在上单调递增； ②当，即时， 的解为， 此时在上单调递减，在 )上单调递增. 注意：函数中含有参数时，要对参数进行讨论. 新课讲授 学习目标 课堂总结 探究：观察对数函数 y = ln x 与幂函数 y = x3的图像，说说函数图像的变化趋势与导数值的大小有怎样的关系? (1) y = ln x：因为 (x∈(0，+∞))， 所以 y = ln x 在区间 (0，+∞) 上单调递增； 当 x 越来越大时，越来越小，所以函数 y = ln x 递增的越来越慢，图象上升得越来越“平缓”. x y O y = ln x y = x3 x y O 新课讲授 学习目标 课堂总结 探究：观察对数函数 y = ln x 与幂函数 y = x3的图像，说说函数图像的变化趋势与导数值的大小有怎样的关系? y = x3 x y O y′ = 3x2 (2) y = x3：因为y′ = 3x2 ，在(- ∞ ，0)和(0，+ ∞) 上， y′＞0，当x=0时， y′ =0，所以y = x3在R上单调递增； 在(- ∞ ，0)上，当 x 越来越大时，y′越来越小，函数 y = x3 递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”. 在 (0，+ ∞) 上，当 x 越来越大时，y′越来越大，函数 y = x3 递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”. 新课讲授 学习目标 课堂总结 函数的图像 的变化规律 函数值变化规律 图像特点 越来越大 函数值增加得越来越快 越来越陡峭 越来越小 函数值增加得越来越慢 越来越平缓 越来越大 函数值减少得越来越快 越来越陡峭 越来越小 函数值减少得越来越慢 越来越平缓 归纳总结 x y O x y O x y O x y O 函数值增减快慢与导数的关系 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 4：生物学上的种群研究表明，很多物种的数量与时间的关系都存在下述规律：一开始，由于物种数量较少，因此物种数量的增加比较慢；随着物种数量的增加，又因为有大量的资源可以加以利用，物种数量的增加会越来越快；到了一定程度之后，因为资源有限，再加上物种内部的竞争开始变得激烈，物种数量的增加将减缓. 假设是时间的函数，而且认为它们都能在某一区间内任意取值，则如图所示(1)(2)中，哪个能近似地表示上述规律？ 典例剖析 x t O （2） （1） x t O 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 4： 增加比较慢 增加会越来越快 增加将减缓. 假设是时间的函数，而且认为它们都能在某一区间内任意取值，则如图所示(1)(2)中，哪个能近似地表示上述规律？ 典例剖析 x t O （2） （1） x t O 解：物种数量的增加比较慢表示曲线在对应点的切线斜率比较小，增加越来越快表示曲线在对应点的切线斜率越来越大，因此图2能近似的表示上述规律. 快 慢 快 慢 快 慢 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则原函数的图象是 ( ) 解：在(-1,1)上，函数单调递增. 先增大后减小，所以函数变化所以趋势是先快后慢，先陡峭后平缓. 故选B. B 新课讲授 学习目标 课堂总结 回顾：结合本课内容，回答下列问题？ 1.用导数确定函数的单调区间时需要注意什么？ 2. 函数值增减快慢与导数有什么关系？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$