6.2.1 导数与函数的单调性 第1课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.2.1 导数与函数的单调性 第 1 课时 新授课 通过具体实例与函数图象，发现函数的导数与单调性之间的关系； 掌握用导数判断函数在给定区间上的单调性的方法. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 完成下列填空： (1) 函数，_______，在R上单调性为__________； (2) 函数，_______，在区间上单调性为_________； (3) 函数，______，在R上单调性为_________； 知识点 1：导数与函数单调性之间的关系 单调递减 单调递减 单调递增 思考：仔细观察，猜想原函数在定义域内区间的单调性与导函数之间的关系？ 猜想：原函数的单调性与导函数的正负有关，且在同一区间，导函数为正时，原函数单调递增；反之，导函数为负时，原函数单调递减. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题1：竖直上抛的一个小物体，其高度与时间之间的关系式是 . 求出这个函数的导函数，并做出这个函数的图像与导函数的图像，前面的猜想仍然成立吗？ 因为，如图所示. 从图可以看出，在区间上， ， 这说明曲线在左边的部分的每一个点处的切线斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此说明函数在区间上是增函数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 类似的在区间上， ， 这说明曲线在右边部分的每一点处的切线斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此说明函数在区间上是减函数. 问题1：竖直上抛的一个小物体，其高度与时间之间的关系式是 . 求出这个函数的导函数，并做出这个函数的图像与导函数的图像，前面的猜想仍然成立吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 函数的单调性与导函数的正负之间的关系： (1)如果在区间(a,b)内， ，则曲线在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0 ，曲线呈上升状态，因此在(a,b)上是增函数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 函数的单调性与导函数的正负之间的关系： (2)如果在区间(a,b)内， ，则曲线在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0 ，曲线呈下降状态，因此在(a,b)上是减函数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 函数的图像如图所示，则下列正确的是 （ ） A. B. C. D. 的正负不确定 解：由图像可知，函数在区间(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有，故. B 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：利用导数判断下列函数的单调性. （1）f (x) = x3 + 3x； （2）f (x) = . 典例剖析 解：（1）因为 f (x) = x3 + 3x， x∈R，所以 f ′(x) = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1) > 0； 所以函数 f (x) = x3 + 3x 在 R 上单调递增. （2）因为 f (x) = ，x∈(−∞，0)∪(0，+∞)，所以 f ′(x) = > 0； 所以函数 f (x) = 在区间(−∞，0)和(0，+∞)上单调递增. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：求函数的单调区间. 典例剖析 解：根据题意有= ， 令 ，可得 ，解得1 ， 因此，函数在区间上是增函数； 令 ，可得，解得<1 ， 因此，函数在区间上是减函数； 综上可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 新课讲授 学习目标 课堂总结 典例剖析 此题还可以用导数为0的点来划分函数的单调区间. 令，解得， 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 综上可知，函数的单调递减区间为， 单调递增区间为. 0 1 思考：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特征? 例 2：求函数的单调区间. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 判定函数单调性的步骤： (1)确定函数的定义域（定义域优先）； (2)求导数； (3)在定义域内解不等式，（或找出的点，这些点将定义域分成若干个小区间，确定在各个小区间内的符号）； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 函数在上是 （ ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 解：∵ ， ∴在上恒成立， ∴在上是增函数. A 新课讲授 学习目标 课堂总结 回顾：结合本课内容，回答下列问题？ 1. 函数的单调性与导数的正负之间的关系？ 2. 如何用导数来判断函数单调性？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$