6.1.2 导数及其几何意义 第2课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.1.2 导数及其几何意义 第 2 课时 新授课 1. 理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程； 2. 掌握导数几何意义的简单应用. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 情境：从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的. 例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量的方向相同. 图中物体在B处的速度方向与向量还是向量的方向相同？ 怎样才能确定一般曲线在某一点的切线？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题1：已知函数 ，设自变量在的改变量： （1）依照定义求出； 知识点 1：导数的几何意义 显然，平均变化率 可以看出，当无限接近于0时，瞬时变化率无限接近于1， 因此函数在导数 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题1：已知函数 ，设自变量在的改变量： （2）设M为函数图像上一点，探讨无限接近于0时，直线OM具有什么样的性质. 思考：比较图中直线OA和直线OB，谁的斜率更接近1呢？ 在A，B两点中，B对应的更加接近于0，则直线OB的斜率更接近于1. 由(1)可知. 图中l为斜率为1的直线. 1 O x y l→k=1 A B 1 新课讲授 学习目标 课堂总结 因此，若M为函数图像上一点，则无限接近于0时，直线OM的斜率将无限接近于1，直线OM将无限接近于过O点且斜率为1的直线. 思考：直线OC和直线OD，谁的斜率更接近1呢？ 类似地，在C，D两点中，C对应的更加接近于0，则直线OC的斜率更接近于1. 1 O x y l→k=1 C D 1 这里的直线就是曲线在(0，0)处的切线. 新课讲授 学习目标 课堂总结 曲线切线的定义 一般地，设S是平面上的一条曲线，是曲线S上的一个定点，P是曲线S上附近的点，则称直线P为曲线S的割线，如果P无限接近于时，割线P无限接近于通过的一条直线l，则称直线l为曲线S在点处的切线. 概念生成 S 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 依照切线的定义可知，如果将函数的图像看成曲线，而且曲线在点处的切线为，则很小时，是附近的一点，割线的斜率是 , 则当无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于切线的斜率. 导数的几何意义：就是曲线在点处(也称在处)的切线的斜率. 思考：利用导数的几何意义，你能够求切线方程吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：已知函数，求曲线在处切线的斜率与方程. 典例剖析 解：因为 ， 因此所求切线的斜率为2. 又因为=1， 所以切线的方程为 ， 即. 切点坐标(1,1) 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 求曲线上点)处的切线方程： (1)根据曲线的函数关系式求出切线斜率； (2)将代入，求得曲线上点； (3)根据直线的点斜式方程，得切线方程 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：已知函数，求曲线在处的切线方程. 典例剖析 解：因为 ， 又因为， 所以切线的方程为 ， 即. 切点坐标(2, ) 斜率为 新课讲授 学习目标 课堂总结 1. 求曲线在点(1，3)处的切线方程. 练一练 解：因为 ， 又因为切点坐标为， 所以切线的方程为 ， 即. 新课讲授 学习目标 课堂总结 借助曲线的切线，我们还可以从几何上来理解瞬时变化率的实际意义，并可以利用某一点的导数来估计这一点附近的函数值，具体过程如下. 如果函数在处的导数为，且在处自变量的改变量为，对应的函数值改变量为 , 则 新课讲授 学习目标 课堂总结 此时曲线在处的切线l的斜率为，因此 AC=，CD= . 又因为BC=,可以看出，当很小时，可用 来近似表示，即 , 所以 . 本质上是用处的切线代替了附近的曲线，使用了“以直代曲”的方法. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：已知函数，计算的近似值. 典例剖析 解：由题意可得，，， 因此 分析：利用求导来估值， . 新课讲授 学习目标 课堂总结 1. 导数的几何意义是什么 ？ 2. 如何求曲线在某点处的导数？ 回顾：结合本节课所学，回答下列问题？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$