6.1.2 导数及其几何意义 第1课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.1.2 导数及其几何意义 第 1 课时 新授课 1. 通过实例分析，体会由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程； 2.了解瞬时变化率的概念，理解导数的概念； 3. 会应用定义求简单函数的导数，并能说出其实际意义. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 回顾：上节已经学习了函数的平均变化率和物体运动的平均速度的概念，二者有何关系？ 物体做变速运动时，设物体走过的路程，则从到的过程中，物体运动的平均速度就是函数在[，]上的平均变化率. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题1：已知物体运动的位移与时间的关系为 （1）分别求出物体在与这两段时间内的平均速度. 知识点 1：瞬时变化率与导数 根据平均速度等于平均变化率可知，在内，物体的平均速度为 . 在这段时间内物体的平均速度为 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题1： （2）思考物体在时的速度该如何定义. 如果记时物体速度为，那么当很小时， 物体在以2和 端点的闭区间上的平均速度应该是的近似值，即 0.5 而且，无限接近于0时近似会越来越精确，此时，可以看出是无限接近于2的. -0.1 -0.01 -0.001 0.001 0.01 0.1 区间 平均速度 0.5 1.95 1.995 1.9995 2.0005 2.005 2.05 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题1： （2）思考物体在时的速度该如何定义. 因此可以认为时，是物体的速度， 这个速度通常称为瞬时速度（简称为速度）. 0.5 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题1： （3）指出这一速度的实际意义. 这一速度的实际意义是：在附近的任意一小段时间内，物体运动的位移的近似值为 你知道哪些生活中的瞬时速度？ 0.5 新课讲授 学习目标 课堂总结 瞬时变化率 一般地，设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为，当无限接近于0时，若平均变化率 ， 无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数在处的瞬时变化率. 概念生成 新课讲授 学习目标 课堂总结 导数 函数在处的瞬时变化率为k，也称在x0处可导，并称k为在处的导数，记作. 概念生成 当无限接近于0时，无限接近于常数k， 也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为 当Δx → 0时， → k， 或者写成，即f ´(x0) = . 新课讲授 学习目标 课堂总结 f ´(x0) = 由表达式可以看出，当很小时，f ´(x0)，从而 . 由此能得到瞬时变化率的实际意义：当自变量在处的改变量很小时，因变量对应的改变量的近似值为. 问题1第(2)题中，时的瞬时速度实际上就是函数在处的导数，即 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：已知函数，求在处的导数 典例剖析 解：当自变量在处的改变量为时，平均变化率 . 可以看出，当无限接近于0时，无限接近于，因此 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 求函数在点x0处的导数 新课讲授 学习目标 课堂总结 12 一差   二比   三极限   1. 求函数在x＝1处的导数. 练一练 解：因为， 所以 ， 因此. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：在生产过程中，产品的总成本C一般来说是产量Q的函数，记作，称为总成本函数.为了方便起见，经济学家们一般假设Q能在某一区间内连续地取值，并将总成本函数在处的导数称为在的边际成本，用MC表示，即MC. 已知某产品的总成本函数，求边际成本MC，并说明其实际意义. 典例剖析 解：设Q=300时产量的改变量为 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：已知某产品的总成本函数，求边际成本MC，并说明其实际意义. 典例剖析 =600 所以 ， 令 ，可得， 即MC 因此，产量为300时的边际成本为600. 其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加600. 新课讲授 学习目标 课堂总结 1. 某正方形铁板在0 时，边长为10cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t 正方形的边长为10 ，其中为常数，设此时正方形的面积为，且，求并且使其实际意义. 解：依题意可知 ， 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 1. 某正方形铁板在0 时，边长为10cm.已知温度为t 正方形铁板的边长为10 ，正方形的面积，求并且使其实际意义. 设时温度的改变量为，则 . 令 ，可得 这表示在时，铁板面积对温度的瞬时变化率为. 实际意义是，在0 时，温度的改变量很小时，铁板面积的改变量的近似值为. 新课讲授 学习目标 课堂总结 1. 什么是函数的瞬时变化率？它和平均变化率有什么联系？ 2. 导数的概念是什么？如何求解函数在某处的导数？ 回顾：结合本节课所学，回答下列问题？