5.4 数列的应用课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.4 数列的应用 新授课 1. 理解分期还款中“等额本金还款法”和“等额本息还款法”的概念及计算方式； 2. 会利用等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式解决分期付款和政府支出的“乘数”效应等问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 例 1：自主创业的大学生张华向银行贷款200000元租赁了一处经营场所，因为预计前期经营状况会比较好，张华跟银行约定按照“等额本金还款法” 分10年进行还款，贷款的年利率为5%，设第年张华的还款金额为元，求出的表达式，并说出数列{}的特征. 典例剖析 “等额本金还款法”：将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款分为本金和利息两部分. 每期还款金额= + (贷款本金-已还本金总额)×利率 知识点 1：分期还款与数列 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：：200000元；还款期数：10年；利率：5%. 解：每期所还本金为 =20000(元)， 第1期还款金额20000+200000×5%30000(元) 第2期还款金额20000+[20000020000]×5%29000(元) 第3期还款金额20000+[20000020000×2]×5%28000(元)， …… 第n期还款金额_____________________________________________. 20000+[20000020000(n1)]×5%1000n+29000 可以看出， {}是一个递减的等差数列. 每期还款金额= + (贷款本金-已还本金总额)×利率 新课讲授 学习目标 课堂总结 每期还款金额= + (贷款本金-已还本金总额)×利率 问题1：如果向银行贷款本金元，打算分成期偿还，并且每一期的利率为，记每期还款的钱数构成的数列为, , …，用“等额本金还款法”，你能写出第期所要还的钱数的表达式吗？ ___________________________________ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题2：假设你现在手中有1000元钱，而且你打算一年以后再使用这笔钱，那么一年以后这笔钱所能买到的东西价值最多只能是1000元吗？为什么？ 将钱存入银行中，假设一年定期的存款利率为5%，不计利息税，则一年后的本息和为(元)，即一年后可以买到价值1050元的东西，换句话说现在的1000元相当于一年后的1050元. 类似地，如果记现在的元相当于年后的A元，银行存款的年利率为且每年结算一次利息（不计利息税，下同）则 ，即 新课讲授 学习目标 课堂总结 经济学上，一般称为A的现值，而A为的未来值. 问题3：如果向银行贷款本金元，打算分成期偿还，并且每一期的利率为，记每期还款的钱数构成的数列为, , …，用“等额本息还款法”，你能写出第期所要还的钱数的表达式吗？ “等额本息还款法”： 将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，因此每一期所还的钱数相等，即 新课讲授 学习目标 课堂总结 经济学上，一般称为A的现值，而A为的未来值. 问题3：本金元，分成期偿还，每一期的利率为. 设每一期所还钱数均为元，即未来值是，则 第1期所还钱的现值为 元， 第2期所还钱的现值为 元， …… 第 期所还钱的现值为_________元. 新课讲授 学习目标 课堂总结 经济学上，一般称为A的现值，而A为的未来值. 问题3：本金元，分成期偿还，每一期的利率为. 最后还款的现值总和为元，因此 … = ，所以由等比数列前项和公式可解得 ____________________ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2：刚考入大学的小明准备向银行贷款5000元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款，小明与银行约定：每个月还一次款，在12个月内还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为0.5%，试求出小明每个月所要还款的钱数（精确到0.01元）. 典例剖析 解：可以看出，小明选择的还款方式为“等额本息还款法”，因此 即小明每个月要还款约430.33元. 新课讲授 学习目标 课堂总结 变式：在例2中，贷款金额5000元，还款时间12个月，月利率为0.5%，改用“等额本金还款法”，计算小明每月还款额度（精确到0.01元）. 解：根据可得 第1月还款金额(元)， 第2月还款金额(元)， …… 第12期还款金额 (元). “等额本金还款法”相较“等额本息还款法”前期还款额度更高，后期更低. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 “等额本金还款法”：将本金平均分配，每期还款额度依次递减. “等额本息还款法”：将本息和平均分配，每期还款额相同. 本金元，分成期偿还，每一期的利率为. 等差数列问题 等比数列问题 新课讲授 学习目标 课堂总结 “乘数” 效应：是指经济活动中某一变量