5.3.1 等比数列 第2课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.3.1 等比数列 第 2 课时 新授课 1. 了解等比数列与指数函数的关系； 2. 理解等比中项的概念，能用公式求解； 3. 掌握判断等比数列的常用方法； 4. 能通过等比数列的概念、通项公式了解等比数列的性质，并能灵活运用于解决问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：通项公式与函数的关系 问题1：在等比数列的通项公式中， an与的关系与以前学过的什么函数有关? 因为 ， 所以如果记 ， 则可以看出的形式类似指数函数，而且 （1）当公比1时， 是常数函数，此时数列{an}是常数列； （2）当公比1时，是与的乘积： ，{an}中的项正负交替， {an}是摆动数列， ，是指数函数， {an}增减性与和有关. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 等比数列与指数函数的异同点 类别 指数函数 等比数列 表达式 不同点 相同点 an = (q＞ 0，且q≠1，n∈N+) f (x)= (a＞0，且a≠1) ① 定义域为N+； ② 图象是一系列孤立的点. ① 定义域为R； ② 图象是一条曲线. 当公比q＞ 0，且q≠1时，等比数列与指数函数都是随自变量乘指数型变化. f (x) O x 3 4 5 1 2 a1 (1, a1) (2, a2) (3, a3) (4, a4) (5, a5) f (x) = · qx (x∈R) a5 a3 a2 a4 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：等差中项的概念 问题 2：如果在与之间插入一个数，使得成等比数列，那么应该满足什么条件？ 由等比数列定义及成等比数列可得：， 整理可得 = 由此可知 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 等比中项的概念 如果是等比数列，那么称为与的等比中项. = → 中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项. 例如：2与8的等比中项是 新课讲授 学习目标 课堂总结 1. 若x和100的等比中项是20，求x. 分析：根据= ，代入求解即可. 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 3：判断等比数列的方法 例 1：已知数列{an}中，在时恒成立， 求证： {an}是等比数列. 典例剖析 解：由 所以，， 因此，从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，所以{an}是等比数列. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题3：在等比数列{an}中，an =，若取，那么{an}的通项公式都能化成an = （ 为非零常数）的形式，那么反之，若数列{an}的通项公式为an = （ 为非零常数），则它是不是等比数列呢？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：已知数列{an}的通项公式为判断这个数列是否是等比数列，如果是求出公比，如果不是说明理由. 典例剖析 解：因为， 所以数列{an}是等比数列，且公比为2. 数列{an}是等比数列的充要条件是 另外，由可知，所以奇数项符号相同，所以偶数项符号也相同. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 判断一个数列是不是等比数列的常用方法 (1)定义法：若(q为常数)，则数列为等比数列； (2)等比中项法：若()，则数列为等比数列； (3)通项法：若(k，b为非零常数)，则数列为等比数列； (4)性质法：若数列，为等比数列，k为非零常数，则，，也是等比数列. 注：(1)(2)(3)条前面已证，第(4)条可自行证明，求出各自的公比. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 4：等比数列的性质 问题 3：设数列{an}的通项公式为，求出，并比较它们的大小. 由易知，数列{an}是等比数列， 因为 =， =， 所以. 思考：那么呢？你能比较它们的大小并总结出一般结论吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 数列{an}的通项公式为 因为 =， =， 所以当= 时，. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 等差数列的性质 一般地，如果 {an} 是等差数列，而且正整数s， t，p，q满足 s + t = p + q，则 . 性质推广：如果 2s = p + q ( s，p，q ∈N +)，则 = apaq，即 as 是 ap 与 aq 的等比中项. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3：在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数. 典例剖析 解：（方法一）依题意，， ， 由等比数列的通项公式，得，解得 当时，插入的3个数分别为 当时，插入的3个数分别为4×()=-2，-2×()=1，1×()=， 因此插入的3个数分别为或. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3：在4与之间插