5.3.1 第2课时 等比数列的性质及其应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.3.1　第二课时　等比数列的性质及其应用 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题，理解等比中项． 2.掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题． 重点难点 重点:利用等比数列解应用题及等比数列的性质． 难点:等比数列的实际应用. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1．等比数列an＝a1qn－1(q>0)的增减性 a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 数列{an}的增减性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 2.等比中项 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的___________． 3．等比数列的性质 等比中项 asat＝apaq apaq 2．等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则： ①{can}(c为任一常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列； (2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列． 1．若{an}，{bn}都是等比数列，则下列数列仍是等比数列的是 (　 ) A．{an＋bn} B．{an－bn} C．{anbn} D．{an＋5} 答案：C　 解析：两个等比数列的积构成的数列仍是等比数列．故选C. 3．在等比数列{an}中，an>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于 (　 ) A．9 B．6 C．3 D．2 答案：C　 解析：因为a2a9＝a1a10＝27，所以log3a2＋log3a9＝log327＝3. [题点一] 等比中项及应用 [典例1]　已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． [解]　设该等比数列的公比为q，首项为a1， ∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)． 方法技巧 (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项． (2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个． 对点训练 2．已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，由a，b，c均不为零，可得a2＋b2≠0，b2＋c2≠0，故ab＋bc≠0，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． [题点二] 等比数列性质及其应用 即(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5＝5. (3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10. 方法技巧 等比数列运算常用的两条思路 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，q，然后求其他； (2)利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m，n，k，l，s∈N＋)⇔am·an＝ak·al＝a. 对点训练 3．等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36等于 (　 ) A．32 B．64 C．128 D．256 答案：B　 [题点三] 等比数列的实际应用 [解]　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列的定义知，数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1. ∴n年后车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元． (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元． 方法技巧 解等比数列应用题的步骤 对点训练 5．某制糖厂2023年制糖5万吨，如果从2023年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(结果保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079) 从而an＝5×1.2n