上海市复兴高级中学2023-2024学年高二上学期数学期末考试数学试卷

上海市复兴高级中学2023-2024学年高二上学期数学期末考试试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分） 1. 抛物线的焦点坐标为_________． 2. 直线被圆所截得的弦长等于_____________． 3. 已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为_____________． 4. 以点为焦点，且渐近线为的双曲线标准方程是_____________． 5. 已知二面角的大小为 ，为异面直线，且,,则所成角的大小为______． 6. 已知圆锥侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为___________. 7. 设圆C与双曲线的渐近线相切，且圆心在双曲线的右焦点，则圆C的标准方程为_____________． 8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马'问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为_________． 9. 如图所示，已知双曲线：的左焦点为，右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是__________. 10. 直线与椭圆相交于A、B两点，现将椭圆所在平面沿x轴折成直二面角，则折好后的A、B间的距离为_____________． 11. 定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为______. 12. 已知直三棱柱中，，过点的平面分别交棱AB，AC于点D，E，若直线与平面所成角为，则截面三角形面积的最小值为_____________． 二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，第13、14题每题4分第15、16题每题5分，每题只有一个正确选项） 13. 一个正方体的八个顶点都在同一球面上，已知这个球的表面积是，则这个正方体的体积是（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线，直线，则是直线的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 15. 椭圆C：左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是 A. B. C. D. 16. 已知四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有下列结论： ①线段的长度为1； ②若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线； ③的余弦值的取值范围为； ④周长的最小值为． 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共有5小题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 如图，在正三棱柱中，分别中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 18. 定义：设P、Q分别为曲线和上的点，把P、Q两点距离的最小值称为曲线到的距离． （1）求曲线到直线的距离； （2）求圆到曲线的距离． 19. 如图，，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路上一游客休息区，已知，（百米），Q到直线，的距离分别为3（百米），（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路于点B，并在B处修建一游客休息区. （1）求有轨观光直路的长； （2）已知在景点Q正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，（百米）（，）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道以（百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由. 20. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求C的方程； （2）设椭圆C的左右焦点为，P是椭圆C上任意一点，记，求的最大值，并求此时P点坐标； （3）点M，N为C上异于A的两点，且，试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由． 21. 如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，．． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）若平面内有一经过点曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角.试判断曲线的形状并说明理由； （3）在平面内，设点Q是（2）题中的曲线E在直角梯形内部（包括边界）的、一段曲线上的动点，其中G为曲线E和的交点．以B为圆心，为半径的圆分别与梯形的边交于两点．当点在曲线段上运动时，求四面