专题1.7 三角形中的最值问题十大考点-2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.7 三角形中的最值问题十大考点 【北师大版】 【题型1 两点之间线段最短】 1 【题型2 垂线段最短】 2 【题型3 平行线之间的距离最短】 3 【题型4 将军饮马（两定一动）】 4 【题型5 三点共线（两定一动最大值）】 5 【题型6 双对称周长最小】 6 【题型7 两定两动】 8 【题型8 两定一定长】 9 【题型9 两动一定】 10 【题型10 费马点】 11 【题型1 两点之间线段最短】 【例1】（2023春·福建宁德·八年级校考期中）如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第 号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．      【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）在同一平面内，线段，C为任意一点，则的最小值为 ． 【变式1-2】（2023春·山西运城·八年级统考期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A．   B．  C．     D．   【变式1-3】（2023春·全国·八年级课堂例题）[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）    【题型2 垂线段最短】 【例2】（2023春·四川成都·八年级校考开学考试）如图，在中，，，，点在线段上，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接，当有最小值时，写出的值为 .    【变式2-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为4的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是 ．    【变式2-2】（2023春·全国·八年级课堂例题）如图，平分为的中点，，垂足为为上的一个动点，是的延长线与的交点，求线段的最小值．    【变式2-3】（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在中，，，D为上一动点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为 ．    【题型3 平行线之间的距离最短】 【例3】如图，直线，且a，b之间相距．点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是 ．    【变式3-1】如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记． (1)若，则线段与的公共点个数可能为______； (2)若取最小值且，则的取值范围是______． 【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）如图，直线，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，于点C，交射线AB于点E，，，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD． （1）当时，有最小值，求m的值； （2）当（m为（1）中的取值）时，探究、与的关系，并说明理由； （3）当（m为（1）中的取值）时，直接写出、与的关系． 【题型4 将军饮马（两定一动）】 【例4】（2023春·广东揭阳·八年级统考期末）为等腰直角三角形， 为线段上一动点，为边的中点，则的最小值为 ． 【变式4-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？    【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ． 【变式4-3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若， (1)求的长； (2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________． 【题型5 三点共线（两定一动最大值）】 【例5】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 【变式5-1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：