专题08 一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题-2024年中考数学压轴题专项训练（湖南专用）

专题08 一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题 一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 “一线三等角”的两种基本类型 1. 三等角都在直线的同侧 2.三等角分居直线的两侧 3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。 类型一：三垂直模型 1.（雅礼）如图，点是双曲线上一动点，连接，作，使，当点在双曲线上运动时，点在双曲线上移动，则的值为 . 2.（青竹湖）如图，，反比例函数的图象过点，反比例函数的图象过点，且轴，过点作，交轴于点，交轴于点，交双曲线于另一点，则的面积为 . 3．（广益）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为 　 　． 4．（长沙中考2020）在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F． （1）求证： （2）若，求EC的长； （3）若，记，求的值． 5.（广益）矩形中，，，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为． （1）如图1，若点恰好在边上． ①求证：△∽△；②求的长； （2）如图2，若是的中点，的延长线交于点，求的长． 图1 图2 6．（长郡）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点是射线上一点，，点是轴正半轴上一点，，连接，经过点且与相切于点，与边相交于另一点． (1)若圆心在轴上，求的半径； (2)若圆心在轴的上方，且圆心到轴的距离为，求的半径； (3)在（2）的条件下，若，点是经过点，，的抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，若满足的点共有个，求点的横坐标的取值范围． 7.（麓山国际）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角． （1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为，则该智慧三角形的面积为　 　； （2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形； （3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝上（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值． 类型二：一线三锐角 8.（师大梅溪湖）如图，在△ABC中，，，，，，则CD的长为________.（提示，作辅助线构造一线三等角的相似） 9．（青竹湖）如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，AB＝6，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F． （1）求证：AB•CF＝BD•CD； （2）如图2，当∠AED＝75°时，求CF的长； （3）若CD＝3BD，求． 10.（广益）如图1，已知直线（k为常数，k≠0）与x轴相交于点A，点B与点A关于y轴对称，点C在y轴的正半轴上，，连接AC，BC。 （1）求△ABC的面积及sin∠ACB； （2）如图2，已知P，Q分别是线段AC，BC上的一动点，且始终满足∠POQ=60°。 ①求AP·BQ的值及△CPQ面积的最大值； ②当△AOP与△OQP的面积相等时，抛物线经过P，Q两点，经过点P的直线满足： 对于任意的实数x，都有成立。记，若函数与x轴相交于M，N两点，且线段MN≤1，求a的取值范围。 类型三：一线三钝角 11.（2016年长沙中考）如图，直线l：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ=135°． （1）求△AOB的周长； （2）设AQ=t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标； （3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ=m，若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件： ①6a+3b+2c=0； ②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值． 12．（2023·浙江宁波·校考三模）点C在的延长线上，且， （1）如图（1），若，求证：； 【思考探究】 （2）如图（2），若，，若，求的值； 【拓展延伸】 （2） 如图（3），连接，若，