4.1.2 指数函数的性质与图像 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

4.1 指数与指数函数 4.1.2 指数函数的性质与图像 新授课 1. 理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法； 2. 能画出具体指数函数的图像，并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 情境与问题： 考古学家经常利用碳 14 的含量来推断古生物死亡的大致时间. 当有机体生存时，会持续不断地吸收碳 14，从而其体内的碳 14 含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳 14，其体内的碳 14 含量就会逐渐减少，而且每经过大约 5730 年后会变为原来的一半. 你能用函数表示有机体内的碳 14 含量与其死亡时间之间的关系吗？一种死亡已经一万年的有机体，其体内的碳 14 含量是其生存时的百分之多少？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 1：指数函数的概念 问题 1：假设某时刻有机体内碳 14 的含量为 1，则在自然条件下： （1）5730 年后，有机体内剩余碳 14 的含量为多少？ （2）2×5730 年后，有机体内剩余碳 14 的含量为多少？ （3）x 年后，有机体内剩余碳 14 的含量为多少？为什么？ 时间 x 某时刻 5730 年后 2 个 5730 年后 … x 年后 剩余量 y 1 思考：假设观察上述表格，说说 y 与 x 之间存在怎样的对应关系？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 指数函数： 一般地，函数 y = ax 称为指数函数 (其中 a 是常数，a > 0 且 a ≠ 1). 如下表中的函数关系为 y = . 新课讲授 学习目标 课堂总结 D 下列函数一定是指数函数的是 (　　 ) A．y = 2x＋1 B．y = x3 C．y = 3·2x D．y = 3-x 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：指数函数的性质与图像 问题 2：求出下列指数函数 y = 2x 的值，完成下表，并由此猜测指数函数 y = 2x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由. x -2 -1 0 1 2 y = 2x 根据指数运算的定义，可得指数函数 y = 2x 的性质： ①定义域 R；②值域 (0，+ ∞)；③奇偶性：非奇非偶函数；④单调性是增函数. 1 2 4 根据以上性质可知，函数 y = 2x 的图像都在 x 轴上方，而且从左往右图像是逐渐上升的. 新课讲授 学习目标 课堂总结 y O x 1 1 通过描点，作出 y = 2x 的图像，如下图所示. 观察函数 y = 2x 的图像可得性质： ① 定义域 R；② 值域 (0，+ ∞)； ③ 非奇非偶；④ 增函数； 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 3：类比函数 y = 2x 的研究，给出研究指数函数 y = ()x 的性质与图像的方法，并用该方法得出这个函数的性质，画出函数图像. （1）定义域是____________； （2）值域是____________； （3）奇偶性是______________； （4）单调性是____________. 由 ()x = 2-x 可得，当函数 y = ()x 和 y = 2x 的自变量取互为相反数的值时，对应的函数值相等； 即如果点 (x0，y0) 在 y = ()x 的图像上，则这点关于 y 轴的对称点 (-x0，y0) 一定在 y = 2x 的图像上； 反之， y = 2x 的图像上任意一点 (x0，y0)，其关于 y 轴的对称点 (-x0，y0) 也一定在 y = ()x 的图像上. 因此，指数函数 y = ()x 和 y = 2x 的图像关于 y 轴对称. R (0，+ ∞) 非奇非偶函数 减函数 y O x 1 1 y = ()x y = 2x 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 4：观察指数函数 y = 2x 和 y = ()x 的图像，说说当 x 取何值时，两函数有公共点？ 由图可知，当 x = 0 时，两函数图像有公共点，且公共点为 (0，1). y O x 1 1 y = ()x y = 2x 思考：由上述结论，你能得出指数函数 y = ax 一定过哪个定点吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 由以上实例，可以归纳出指数函数 y = ax (a > 0 且 a ≠ 1) 具有下列性质： （1）定义域是实数集 R； （2）值域是 (0，+ ∞)； 即：对任何实数 x，都有 ax > 0，且函数图像一定在 x 轴的上方； （3）函数图像一定过定点 (0，1)； （4）当 a > 1 时，y = ax 是增函数；当 0 < a <