7.2.2单位圆与三角函数线 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7.2 任意角的三角函数 7.2.2 单位圆与三角函数线 新授课 1. 了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切； 2. 能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 设角 α 是一个任意角，P (x，y) 是 α 终边上异于原点的任意一点，点 P 与原点的距离 r = > 0. 那么：① 叫做 α 的正弦，即 sin α = ； ② 叫做 α 的余弦，即 cos α = ； ③ 叫做 α 的正切，即 tan α = (x ≠ 0)； 回顾：任意角的正弦、余弦与正切的定义 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 1：如图，若选取的 P 点的坐标满足 x2 + y2 = 1，说说其中 x2 + y2 = 1 的几何意义是什么？ 知识点 1：正弦线与余弦线 因为 x2 + y2 = 1 可化为 = 1， 因此 P (x，y) 到原点 (0，0) 的距离为 1， 即 P (x，y) 的轨迹是以原点 (0，0) 为圆心，1 为半径的圆. x y O P x2 + y2 = 1 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足 x2 + y2 = 1 的点组成的集合称为单位圆（即以原点 (0，0) 为圆心，1 为半径的圆）. x y O P x2 + y2 = 1 (1，0) 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：若角 α 的终边与单位圆的交点为 P，则 α 的正弦与余弦的表达式有什么变化？ 因为 r = = 1，所以 sin α = y，cos α = x； 所以 点 P (x，y) 的坐标可写成 (cos α，sin α)， 即角 α 的余弦和正弦分别等于角 α 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标. 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 如图，过角 α 的终边与单位圆的交点为 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，则： 为角 α 的余弦线，为角 α 的正弦线. x y O P M α 的终边 思考：类比余弦线与正弦线的定义，说说正切线的定义是什么？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 小结：正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 知识点 2：正切线 若 α 的终边不在 y 轴上，且 P (x，y) 是 α 终边上异于原点的任意一点，则 tan α = ；取坐标满足 x = 1 的点 P，则 tan α = y. 如图，设 α 的终边与直线 x = 1 交于点 T，则称 为角 α 的正切线. x y O T A 1 α 的终边 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：作出 和 的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切. 解：如图所示，在平面直角坐标系中作出单位圆以及 直线 x = 1，单位圆与 x 轴交于点 A (1，0)； 作 终边与单位圆的交点 P，过 P 作 x 轴的垂线， 垂足为 M；延长线段 PO，交直线 x = 1 于 T， 则 的正弦线为 ，余弦线为 ，正切线为 同理可得 的正弦线为 ，余弦线为 ，正切线为 . x y O T A S R N P M 新课讲授 学习目标 课堂总结 利用三角函数线求出 和 正弦、余弦和正切. 如图所示，根据直角三角形的知识可知： ； ； . x y O T A S R N P M 新课讲授 学习目标 课堂总结 x y O P α T 解：过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，则： 当 α 的终边在第一、二象限或 y 轴正半轴上时， MP = rsin α，此时 h = OT + MP = l + rsin α； 当 α 的终边在第三、四象限或 y 轴负半轴上时， 因为 sin α < 0，所以 MP = – rsin α，此时 h = OT – MP = l + rsin α； 当 α 的终边在 x 轴上时，sin α = 0，此时 h = OT = l + rsin α； 所以，不管 α 的终边在何处，都有 h = l + rsin α. 例 2：如图，将摩天轮抽象成平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为 x 轴，建立平面直角坐标系. 设 O 到地面的高 OT 为 l m，点 P 为转轮边缘上任意一点，转轮半径 OP 为 r m，记以 OP 为终边的角为 α rad，点 P 离地面的高度为 h m，试用 l，r 与 α 表示 h. M 新课讲授 学习目标 课堂总结 回顾：本课关键词“单位圆、三角函数线” ，说说今天学了哪些知识？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$