9.2 正弦定理与余弦定理的应用 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

9.2 正弦定理与余弦定理的应用 新授课 1. 能用正弦定理和余弦定理解决相关实际问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 问题 1：如图对于底部和顶端都不能到达的故宫角楼的高度，如果只有米尺和测量角度的工具，如何在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度？ 角楼高度问题可转化为用米尺与测量角度的仪器得到不便到达的两点之间的距离； 如下图所示，设线段 AB 表示不便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置 C 进行测量； A B C α 图中∠ACB 可通过仪器测得； 点 A、B 不易到达，故 △ABC 的 3 条边均无法用米尺测量. 知识点 1：运用正、余弦定理测量距离 新课讲授 学习目标 课堂总结 A B C α D β θ m γ φ 如图所示，在可到达的地方再选定一点 D，并使得 CD 的长 m 能用米尺测量； 再用测量角度的仪器测出∠BCD = β，∠BDC = γ，∠ACD = θ，∠ADC = φ； 利用 α，β，γ，θ，φ 以及 m 即可求出 AB 的长. 在 △BCD 中，因为∠CBD = π – β – γ，所以由正弦定理可得 = ，因此 BC = ； 同理，从 △ACD 可得 AC = ；最后，在 △ABC 中，根据 AC，BC，α，利用余弦定理就可以得出 AB 的长. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：如图所示，A，B 是某沼泽地上不便到达的两点，C，D 是可到达的两点. 已知 A，B，C，D 4点都在水平面上，而且已经测得∠ACB = 45°，∠BCD = 30°，∠CDA = 45°，∠BDA = 15°，CD = 100 m，求 AB 的长. 解：因为A，B，C，D 4点都在水平面上， 所以∠BDC = ∠BDA + ∠CDA = 15°+ 45°= 60°， 因此∠CBD = 180°– 30°– 60°= 90°， 所以在 Rt△BCD中，BC = 100cos 30°= 50 (m)； 在△ACD中，因为∠CAD = 180°– 45°– 30°–45°= 60°， 所以由正弦定理可知 = ，因此 AC = ； 在△ABC中，由余弦定理可知 AB = . 新课讲授 学习目标 课堂总结 B A 如图，AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法，求出建筑物的高度. 解：如图所示，选择一条水平基线 HG，使 H，G，B 三点在同一条直线上； 用测角仪器在 G，H 两点测得 A 的仰角分别是 α，β，CD = a，其中测角仪器的高是 h； 在△ACD中，根据正弦定理可得 ； 则 . 练一练 C α D β G H E h h a 新课讲授 学习目标 课堂总结 类型 简图 计算方法 底部可达   底部 不可达 点 B 与 C、D 共线   点 B 与 C、D 不共线   测得 CD = a 及∠BCD、∠BDC、∠ACB的度数； 在△BCD 中由正弦定理求得 BC，再解三角形得 AB 的值. 测得 CD = a 及 ∠C 与∠ADB 的度数； 先由正弦定理求出 AC 或 AD，再解三角形得 AB 的值. 测得 BC = a，∠BCA = C，AB = a·tanC 归纳总结 新课讲授 学习目标 课堂总结 关于角度测量的问题时，需要明确以下几个概念： 知识点 2：运用正、余弦定理求解角度问题 术语名称 术语意义 图形表示 方位角 方向角 从指北方向线顺时针转到目标方向线的水平夹角 从正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角；表达为：北偏东(西) xx 度，南偏东(西) xx 度. α 北 东 m° 北 东 n° 北 东 北偏东 m° 北偏东 n° 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：如图所示，在某海滨城市 A 附近的海面出现台风活动. 据监测，目前台风中心位于城市 A 的东偏南 60°方向、距城市 A 300 km的海面点 P 处，并以 20 km/h 的速度向西偏北 30°方向移动. 如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为 100 km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市 A 是否会受到上述台风的影响. 如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由. A P 60° 30° 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：如图所示，设台风的中心 x h 后到达位置 Q，且此时 AQ = 100 km； 在 △AQP 中，有 P = 60°– 30°= 30°，且 AP = 300 km，PQ = 20x km， 因此由正弦定理可得 = = ； 解得sin Q = = ，所以 Q