专题8-4 四大分布：二项分布，超几何分布，正态分布（13类题型）-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题8-4 四大分布：二项分布、超几何分布与正态分布（13类题型） 题型一 两点分布 题型二 二项分布 题型三 建立二项分布模型解决问题 题型四 服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型五 利用二项分布求分布列 题型六 二项分布之高尔顿钉板问题 题型七 超几何分布 题型八 超几何分布与二项分布 题型九 正态分布：正态曲线的对称性 题型十 正态分布的实际应用(选填) 题型十一 正态分布大题专练 题型十二 二项分布与正态分布 题型十三 超几何分布与正态分布 1、两点分布 （1）两步法判断一个分布是否为两点分布 ①看取值：随机变量只取两个值：0和1. ②验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是 （2）若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． 注意： 两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； 两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 2、二项分布 定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 1.独立重复试验的特点 ①每次试验中，事件发生的概率是相同的； ②每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 2.判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p)) ①的取值为0，1，2，…，n； ②P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n，p为试验成功的概率)．　 注意：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布． 3.二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 4.二项分布的期望、方差 若，则，． 3、超几何分布 （1）本质：超几何分布的模型是不放回抽样，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． （2）超几何分布中的参数是M，N，n； （3）超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成. 4、正态分布 一、正态曲线 1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2、正态曲线的性质 （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲 乙 二、正态分布 1、定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2、原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 正态分布在四个特殊区间内取值的概率若则 （1）； （2）； （3）； （4）. 三、超几何分布与二项分布的区别∶ （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几