2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，是的直径，弦于点，在的切线上取一点，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)求AE的长． 3．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD＝，求⊙O的半径． 4．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE． (1)求证：DE是半圆⊙O的切线； (2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长． 5．如图，在中，是边上的中线，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点． （1）求证：； （2）求证：直线是的切线． 6．已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若为的中点，求证：直线是的切线． 7．如图，AB是圆O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD=AB，连接CB与圆O交于点F，在CD上取一点E，使得EF=EC． （1）求证：EF是圆O的切线； （2）若D是OA的中点，AB=4，求CF的长． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．在斜边AB上取一点D，使CD=CB，圆心在AC上的⊙O过A、D两点，交AC于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，且AE=2，求CE的长． 9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若直径AB＝6，求AD的长． 10．如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若的直径为5，，求的长． 11．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接．    （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 12．如图，AB是的直径，AM和BN是它的两条切线，过上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D、C，且DA＝DE． （1）求证：直线CD是的切线； （2）求证： 13．如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G． （1）求证：EG是⊙O的切线； （2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O的半径．    14．如图，为半的直径，弦的延长线与过点的切线交于点，为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）过点作，垂足为点，，，求的半径． 15．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，过点B作CD的平行线交弦AD的延长线于点F . （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）连结BC，若⊙O的半径为2，tan∠BCD=，求线段AD的长． 16．如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与、分别交于点、，与的另一个交点为.过点作，垂足为. （1）求证：是的切线； （2）若，，求弦的长. 17．如图，已知AB是的直径，CD与相切于点D，且． （1）求证：BC是的切线； （2）延长CO交于点 E．若，⊙O的半径为2，求的长．（结果保留π） 18．如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD． （1）求证：△APO～△DCA； （2）如图2，当时 ①求的度数； ②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据切线的性质得到，求得，推出，求得，于是得到结论； （2）连接，根据已知条件得到，得到，根据三角函数的定义得到，根据切线的性质得到，，于是得到结论． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．(1)见解析 (2) 【分析】(1) 连接OD，根据圆周角定理可证得，，再根据平行线的性质，即可证得，即可证得结论； (2) 过点O作，根据垂径定理可得，可证得四边形OFED是矩形，，据此即可求得． 【详解】（1）证明：如图：连接OD， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 又