2023年中数学考二轮数学专题导练 考点19 图形的旋转

考点19 图形的旋转 考点精讲： 1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 图形的旋转三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。如下图所示： 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 3.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°，小于360°）。 4.中心对称图形与中心对称 （1）中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。 （2）中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。 5．中心对称和中心对称图形的区别 区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。 6.中心对称的性质 关于中心对称的两个图形是全等形。 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 7.中心对称图形的判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 8.坐标系中对称点的特征 （1）关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y） （2）关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P′（x，-y） （3）关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（-x，y） 9.常见的中心对称图形 平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．旋转问题包括直线(线段)的旋转问题、三角形的旋转问题、四边形的旋转问题、其他图形的旋转问题. 重要问题解题思维方法总结： 1．旋转作图步骤： （1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； （2）找出原图形的关键点； （3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； （4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 2.旋转变换的应用总结 (1)求角度；(2)求弧度；(3)求面积；(4)证明线段相等； (5)证明角相等；(6)证明位置关系；(7)综合应用。 解题关键就是，要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等。旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用． 3.中心对称图形与中心对称关系 中心对称图形 中心对称 图 形 定 义 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称 性 质 对应点 点A与点C，点B与点D 点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′ 对应线段 AB=CD， AD=BC AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角 ∠A=∠C ∠B=∠D ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′ 区 别 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 中心对称是指两个图形的关系 联 系 把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称 把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形 真题解析： 例题： 1．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2