2023年中考数学二轮数学专题导练 考点21 图形的相似

考点21 图形的相似 考点精讲： 一、相似、相似三角形及其基本的理论 1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。 2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 3．三角形相似的判定方法 （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。 （3）两个三角形相似的判定定理 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 4．直角三角形相似判定定理: ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 5．相似三角形的性质: （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 二、比例 1．成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。 2．什么是黄金分割 ( A B C ) 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果成立，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金分割比。如果把化为乘积式是，AC叫作AB和BC的比例中项。 3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。 数学使人精确。数学会让我们的生活更美好！数学也是艺术。 三、位似图形 1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比． 2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比． 3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心． 4．画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点． 重要问题解题思维方法总结： 1.作一条线段的黄金分割点方法 一条线段的黄金分割点有两个. 任意一条线段都可以找出两个黄金分割点，这两个黄金分割点关于这条线段的垂直平分线对称。 ( A B C D ) 方法1： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点。 方法2： 如图，设AB是已知线段。 （1）在AB上作正方形ABCD； （2）取AD的中点E，连接EB； （3）延长DA至F，使EF=EB； （4）以线段AF为边作正方形AFGH。 点H就是AB的黄金分割点。 2.黄金分割的魅力所在 ⑴古埃及胡夫金字塔：文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618； ⑵蒙娜丽莎的微笑：著名画家达·芬奇的《蒙娜丽莎》构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都完美的体现了黄金分割； ⑶伟大的数学家华罗庚曾致力于推广“0.618优选法”，把黄金分割原理应用于生产、生活实际以及科学实验中，为国家节约了大量的人力和能。 ⑷人体最感舒适的温度是23℃，也是正常人体温（37℃）的黄金点（37×0.618≈23℃）。这说明医学与0.618有千丝万缕的联系，尚待开拓研究。衡量一个人