预习04讲 平面向量的数量积（精讲+精练）-2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019必修第二册）

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册） 预习04讲 平面向量的数量积（精讲+精练） ①平面向量的数量积的概念 ②向量垂直的问题 ③向量的夹角问题 ④向量的模长问题 ⑤向量的投影问题 ⑥向量数量积的综合运算 一、平面向量数列积的物理背景 如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功.其中是F在物体位移方向上的分量的数量,也就是力F在物体位移方向上正投影的数量. 从物理角度来看数量积的意义,有利于理解数量积的概念,两个向量的数量积可以运算,其结果是一个数量. 二、向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角. (2)向量的夹角范围. (3)特殊情况： ①，与同向；②，与垂直，记作；③，与反向. 三、平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即.规定：零向量与任一向量的数量积为0 注:①“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”；②数量积的结果为数量,不再是向量； ③向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零. （2）投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 注:①为向量在上的投影的数量；②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 四、平面向量数量积的性质 设,是非零向量,它们的夹角是,是与方向相同的单位向量,则 ①.  ②. ③当与同向时,； ④当与反向时,； ⑤ 或； ⑥； ⑦. 五、向量数量积的运算律 ①交换律： ②对数乘的结合律： ③分配律： ④ ⑤ 题型一：平面向量的数量积的概念 策略方法 【题型精练】 一、单选题 1．已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　） A．1 B． C．3 D． 2．在边长为2的等边中，的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 3．已知是夹角为的单位向量,则（    ） A． B． C． D． 4．在三角形中，，，，则（    ） A．10 B．12 C． D． 5．在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 二、填空题 6．已知菱形的对角线长为4，则 ． 7．已知在ABC中，AB＝AC＝4，，则ABC的形状是 ，＝ . 题型二：向量垂直的问题 策略方法 1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 【题型精练】 一、单选题 1．在中，，为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．已知，均为单位向量且夹角为，则下列向量与垂直的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是非零向量，且不共线，，若向量与互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．若四边形满足，，则该四边形一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形 二、填空题 5．已知向量， 满足： =，⊥，则 = 6．已知向量、满足，，与的夹角为，若，则 . 7．已知是两个单位向量，，且，则= ． 题型三：向量的夹角问题 策略方法 求向量夹角问题的方法 【题型精练】 一、单选题 1．已知向量，，，则向量与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 3．已知向量满足，=1，则向量的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 4．若均为单位向量，且满足，则向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，是单位向量，且，则与的夹角是 . 7．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ． 8．已知，，且，则 ． 三、解答题 9．已知平面向量，，，，且与的夹角为 (1)求 (2)若与垂直，求的值 10．已知，，． (1)求； (2)当为何值时，与垂直？ (3)求向量与的夹角的余弦值．