2024年九年级中考数学复习 二次函数之等腰三角形存在性问题

中考数学压轴题专项练习 二次函数之等腰三角形存在性问题 1．（2023秋•琼山区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，连接BC，点P为抛物线上一动点，在过点P作轴交直线BC于点M，交x轴于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在直线BC上方运动的过程中，四边形PCAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接OM，当为等腰三角形时，直接写出点M的坐标； （4）是否存在点P，使得以O，M，N为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023秋•浙江月考）已知抛物线，经过A，B，C，点，，请回答以下题目． （1）求解该抛物线的解析式并求出顶点的坐标； （2）若点D在x轴上方的抛物线上： ①当是以AC为底边的等腰三角形时，求出点D的坐标； ②若时，求出点D的坐标； ③若直线BD交y轴于点N，过B作AD的平行线交y轴于点M，当D点运动时，求出的最大值以及此时D的坐标． 3．（2023秋•盘州市期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式． （2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式． （3）如图②，连接BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且，直接写出当n为何值时为等腰三角形． 4．（2023•凉山州）如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C，直线过抛物线的顶点P． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若直线与抛物线交于点E，与直线BC交于点F． ①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值； ②当是等腰三角形时，求点E的坐标． 5．（2022秋•澧县期末）如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与直线BC交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由； （3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．（2023•富裕县模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为，两点，与y轴交于点，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E． （1）求二次函数解析式； （2）连接AC，AD，CD，试判断的形状，并说明理由； （3）点P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标； （4）在线段AC上，是否存在点F，使为等腰三角形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2023秋•右玉县期中）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接BC，点为抛物线上一动点，过点P作轴交直线BC于点M，交x轴于点N． （1）直接写出抛物线和直线BC的解析式； （2）如图2，连接OM，当为等腰三角形时，求m的值； （3）是否存在点这样的点P，使得以O，M，N为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2023秋•微山县期中）抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过点B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是直线BC上方抛物线的一动点，当面积取最大值时，求点D的坐标； （3）连接AC，将绕点A旋转一周，在旋转的过程中，点C，B的对应点，，直线分别与直线BC交于点E，交y轴于点F．那么在转过程中，是否存在恰当的位置，使是以CE为腰的等腰三角形？请求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2023秋•江津区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴和y轴分别交于点A，B，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上一动点，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点C为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点E，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若是以QE为腰的等腰三角形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 10．（2023秋•西湖区校级期中）已知二次函数（b，c是常数） （1）若，两点在该二次函数图象上，求二次函数的表达式． （2）若二次函数的表达式可以写成的形式（h是常数），求的最小值． （3）若二次函数的表达式还可以写成，它的图象与x轴交于A，B两点，一次函数的图象经过点A，且与二次函数的图象交于另一点C