3.4.2 求距离（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

3.4空间向量在几何体中的应用 3.4.2 求距离 第3章 空间向量及其应用 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 求点到直线的距离 求点到平面的距离 01 02 CONTANTS 目 录 求点到直线的距离 01 常见的空间中的距离有：点到点的距离、点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离; 常用的求解距离的方法有：传统方法和向量法. 思考：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些? 探究1：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？ 如图，向量在直线上的投影向量为，则是直角三角形.因为都是定点，所以，与的夹角都是确定的.于是可求.再利用勾股定理,可以求出点到直线的距离. 设,则向量在直线上的投影向量. 在中，由勾股定理，得 思考1：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. ∴ 两条平行直线之间的距离点到直线的距离 例题2.如图，在长方体中有，， 求点到直线的距离. 解：如图，以点为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 取，，则 所以点到直线的距离为 用向量法求点到直线的距离一般步骤： ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量； ③计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影； ④利用勾股定理求点到直线的距离. 另外，要注意两条平行直线之间的距离点到直线的距离 求点到平面的距离 02 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度.因此 探究2：如何求平面α外一点点到平面α的距离？ 平行于平面的直线l到平面α的距离 如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. 思考2：类似地，如何求平行于平面的直线l到平面α的距离？两个平行平面之间的距离呢？ 两个平行平面之间的距离 如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 线面、面面距离平面外一点到平面的距离 l 例题2.如图，已知正方形的边长为，平面，且，分别为的中点. (1)求点到平面的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：(1) 如图建立空间直角坐标系，则，，， ∴，，. 设平面的法向量为 则所以即 令则. 所以点到平面的距离. 例题2.如图，已知正方形的边长为，平面，且，分别为的中点. (1)求点到平面的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：(2)由于分别为的中点，所以， 所以平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 由于，又由(1)知平面的法向量为. 所以点到平面的距离为. 即直线到平面的距离为. 用向量法求点到平面的距离一般步骤： ①建立空间直角坐标系； ②求相关点的坐标； ③求相关向量的坐标（平面的法向量）； ④距离. 另外，要注意线面、面面距离平面外一点到平面的距离. 题型 1　利用空间向量求点线距 例1　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离． 题型探究 解析：因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)， 所以直线A′C的方向向量＝(1，2, －3)． 又＝(0，2，0)， 所以在上的投影长为＝. 所以点B到直线A′C的距离d＝＝ ＝. 巩固训练1　已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 解析：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)， 所以直线A1C1的方向向量 ＝＝(0，3，1)， 所以点B到直线A1C1的距离 d＝＝ ＝. 题型 2　利用空间向量求点面距、线面距 例2　如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 解析：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则D(0，0，0)，P(0，0，1)，E，F，A(1，0，0)． 所以＝＝＝， 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 令x＝