第1章 三角形的证明（压轴题专练）-2023-2024学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第1章 三角形的证明（压轴题专练） 目录： 题型1：等腰三角形与全等三角形综合 题型2：等边三角形与全等三角形综合 题型3：等腰（边）三角形在平面直角坐标中的应用 题型4：最值问题 题型5：定值问题 题型6：HL与等腰三角形 题型7：含30°角的直角三角形的性质与等腰三角形 题型8：垂直平分线综合 题型9：角平分线综合 题型10：线段的垂直平分线、角平分线在平面直角坐标系的应用 题型11：三角形的证明与勾股定理综合 题型1：等腰三角形与全等三角形综合 1．以的、为边作和，且，，与相交于M，． (1)如图1，求证：； (2)在图1中，连接，则________， ________；（都用含的代数式表示） (3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数． 2．在和中，，，． (1)如图1，将，延长，延长线相交于点O． ①求证：； ②用含的式子表示的度数（直接写出结果）； (2)如图2，当时，连接，，N是的中点，连接并延长与交于点M，求证： 题型2：等边三角形与全等三角形综合 3．如图1，在等边三角形中，点分别在边上，，连接，与相交于．    (1)求证：； (2)如图2，连接，当时，求证：； (3)如图3，过点作，分别交于，比较与的大小并证明． 4．如图1，是等边三角形，点F是边的中点，点D在直线上运动，连接,以为边向右侧作等边三角形,连接,直线与直线交于点M． (1)如图1，当点D在线段上时： ①与的数量关系为___________        ②___________°． (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； (3)如图3，当点D在线段的延长线上时，若，则___________． 题型3：等腰（边）三角形在平面直角坐标中的应用 5．综合与探究 等边三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点，，都在坐标轴上，点为线段上一动点，点为轴下方一点，且，，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，当点在轴上，且点的坐标为，时，求点的坐标． (3)若点的坐标为，直接写出在点的运动过程中，的最小值． 6．在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．    (1)如图1，以A为顶点作等腰直角时，，若，垂直于x轴，垂足为D，则D点的坐标为 ；C点的坐标为 ； (2)如图2，以B为顶点作等腰直角，，若，求点D的坐标； (3)如图3，若于点F，以为边作等边，连接交于点N，点E在上且，连接，求线段的数量关系． 题型4：最值问题 7．已知是等边三角形，点D为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． (1)如图1，点D在线段上，连接，若，且，求线段的长； (2)如图2，点D是延长线上一点，过点E作于点F，求证：； (3)如图3，若，点D在射线上运动，取中点G，连接，请直接写出的最小值． 题型5：定值问题 8．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，点在轴上，点在第二象限，．                       (1)在线段上找一点，使得，连接、，求证：； (2)将绕点逆时针旋转，使得点落在轴正半轴上． 如图，轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，则与有怎样的数量关系？并说明理由， 如图，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作轴于点下，在滑动的过程中，是否为定值？若是，请直接写出答案；若不是，请说出理由． 题型6：HL与等腰三角形 9．已知在中，，且，作等腰，使得．    (1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示） (2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； (3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 题型7：含30°角的直角三角形的性质与等腰三角形 10．在 中， 于点，平分，点在上，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作，交的延长线于点，连接 ，交的延长线于点，若，求的长． 题型8：垂直平分线综合 11．八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决． (1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围； (2)如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若． 求证：； (3)如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系． 12．如图1，在和中，，，．连接，． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的