2023-2024学年人教版九年级数学上册寒假 04讲 旋转几何模型

第04讲 旋转几何模型 学习目标：（1）建立本章知识体系 （2） 明确中考考点 （3） 掌握经典题型 中考考点总结： （1） 基础旋转几何证明 （2） 手拉手模型 （3） 半角模型 （4） 对角互补模型 （5） 费马点模型 考点一：基础旋转几何证明 知识储备： 旋转三要素： 、 、 旋转的性质（三等）： （1） 旋转前后，两图形 ； （2） 对应点到旋转中心的距离 ； （3） 每一点都绕旋转中心沿 的方向转动 了 的角度。 旋转中心的确定方法： 对应点连线的 的交点。 对称中心的确定方法： 对应点连线的 。 例1.如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，以 BC 为边向图形外作等边△BCD，把△ABD 绕点D 按顺时针方向旋转 60°到△ECD 的位置，若 AB＝2，AC＝3． （1）求∠BAD 的度数； （2）求 AD 的长． 考点二：手拉手模型 知识储备： 手拉手模型的特征：共顶点、等线段、手拉手、全等现 常见模型分类： 例2.在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE，连接 AE 与 CD，证明： （1）△ABE≌△DBC （2）AE=DC （3）AE 与 DC 的夹角为 60。 （4）△AGB≌△DFB （5）△EGB≌△CFB （6）BH 平分∠AHC （7）GF∥AC 考点三：半角模型 知识储备： 一、半角模型的特征 ①两角共顶点 ②小角是大角的一半 ③大角两边相等 二、半角模型常见解法 通过旋转三角形构造全等三角形从而证明线段之间的关系、线段长度、角度等。 3、 分类及常见结论 模型一：90°含 45°半角模型（正方形、等腰直角三角形） 结论：BE+DF=EF 模型二：120°含 60°半角模型（正三角形） 结论：BE+CF=EF（C△AEF=2AB） 例3.如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且∠EAF＝45º， （1）证明：BE＋DF＝EF. （2）若BE=4,DF=6,求 正方形ABCD的边长 考点四：对角互补模型 一、半角模型的特征 对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。 二、半角模型常见解法 常见的思路有：对角互补四点共圆；顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者 相似；旋转将四边形转化为三角形从而求解面积 3、 分类及常见结论 例4.在ABC 中， BAC 90 ， AB AC ， AD BC 于点 D ,在等边△ABC 中，点 D 是线段 BC 的中点，∠EDF＝120º，射线 DE 与线段 AB 相交于点 E，射线 DF 与线段 AC（或 AC 的延长线）相交于点 F. （1）如图 1，若 DF⊥AC，直接写出 DE 与 AB 的位置关系； （2）如图 2，将（1）中的∠EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段 AC 相交于点 F，求证：DE＝DF； （3）在∠EDF 绕 D 顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段 BE、CF、AB 之间数量关系. 考点五：费马点专题 费马点：指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．若三角形的内角均小于 120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于 120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点． 如图，△ABC 每一个内角都不超过 120°，以 AC、AB 为边向外侧作出等边△ADC、等边△ABE，连接 DB、CE 交于点 P，则 P 点就是三角形 ABC 的费马点，满足 AP+BP+CP 有最小值 例：在△ABC 内找一点 P，使得 PA+PB+PC 最小 如图，将△ABP 绕点 A 旋转 60◦，得到△AB1P1，连接 PP1，可得△APP’为等边三角形，则 AP=PP1 因为ABP ABP所以 BP BP 那么 PA+PB+PC 此时转换成了： BP PP PC 当 B, P, P, C 四点共线时，就有 BP PP PC 最小，即：PA+PB+PC 最小，也就是 BC 的长度 例5.如图，∠ABC=30°,AB=3，CB=4 ，P 是△ABC 所在平面内的一点,则 PA PB PC 的最小值是 例6. 如图，△ABC 中，∠BAC＝30°且 AB＝AC，P 是底边上的高 AH 上一点．若 AP+BP+CP的最小值为 2，则 BC＝ ．2 随堂检测： 1.如图,已知点P(2m-1,6m-5)在第一象限的角平分线OC上,A