2023年中考数学二轮专题复习-二次函数的对称问题

2023年中考数学二轮专题复习-二次函数的对称问题 1．已知抛物线y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，其中m是常数． （1）求证：不论m为何值，该抛物线与z轴一定有两个公共点； （2）若该抛物线的对称轴为直线x＝，请求出该抛物线的顶点坐标． 2．在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为B，中，．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量： ① 量得cm；② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合(如图1)，测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为． 请完成下列问题： (1)写出抛物线的对称轴； (2)求抛物线的解析式； (3)将图中的直尺(足够长)沿水平方向向右平移到点的右边(如图2)，直尺的两边交轴于点、，交抛物线于点、． 求证：． 3．如图，抛物线y=ax²-2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标； 4．如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）求a的值． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 5．在二次函数中， (1)若它的图象过点，则t的值为多少？ (2)当时，y的最小值为，求出t的值： (3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 6．已知抛物线（a，m均为常数，且），G交y轴于点，点P在抛物线G上，连接，且平行于x轴． (1)用a表示m，并求抛物线G的对称轴及P点坐标； (2)当抛物线G经过时，求G的表达式及其顶点坐标； (3)如果把横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，如图，当时，若抛物线G位于线段下方的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有5个“整点”，求a的取值范围．    7．如图，在直角坐标系中，已知直线y=-x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点的坐标为（-2，0）． （1）求证：直线AB⊥AC； （2）求经过A，B，C三点的抛物线l的解析式和对称轴； （3）在直线AB上方的抛物线l上，是否存在一点P，使直线AB平分∠PBC？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）经过A（m，n）、B（2-m，n）两点． (1)求a、b满足的关系式； (2)如果抛物线的顶点P在x轴上，△PAB是面积为1的直角三角形，点C是抛物线上动点（不与A、B重合），直线AC、BC分别与抛物线的对称轴交于点M、N． ①求抛物线的解析式； ②求证：PM=PN． 9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)若， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，直接写出m的取值范围； (2)若，点在该抛物线上，且，请比较p，q的大小，并说明理由． 10．已知抛物线． (1)当抛物线过点时，求抛物线的表达式： (2)抛物线上任意不同两点都满足：当时，；当时，，试判断点在不在此抛物线上； (3)抛物线上有两点，当时，恒成立，试求a的取值范围． 11．已知抛物线经过，两点． (1)当时，求的值； (2)当，且时，的最大值为3． ①求抛物线的解析式； ②抛物线与轴交于点，直线与抛物线交于点，与直线交于点，连接，当时，求的值． 12．二次函数的图像经过，两点． (1)当时，判断与的大小． (2)当时，求的取值范围． (3)若此函数图像还经过点，且，求证：． 13．设二次函数，为常数，且． (1)若该二次函数的图象过点，求二次函数的表达式； (2)函数的图象始终过一个定点，若一次函数为常数，的图象也经过这个定点，求，的关系式； (3)已知点，与都在函数的图象上，若，且，求的取值范围（用含的代数式表示）． 14．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标． 15．已知抛物线 (a、b、c是常数，)的对称轴为直线． (1) b=______；(用含a的代数式表示)     (2)当时，若关于x的方程在的范围内有解，求c的取值范围； (3)若抛物线过点(，)，当时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值． 16．如图二次函数的图象经过和两点，且交轴于点． （1）试确定、的值； （2）过点作轴交抛物线于点点为此抛物线的顶点，试确定的形状． 参考公式：顶点坐标 试卷第1页，共3页 试卷第1页