第25-26章 阶段复习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第25-26章阶段复习-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般形式，则一次项系数和常数项的和是（     ） A． B． C． D． 3．二次函数（a为常数）的图象与x轴交点的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．一元二次方程的根是（     ） A． B．， C．， D．， 5．将二次函数的图象向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 6．为落实山西省“一泓清水入黄河”重大生态工程部署，持续推进汾河生态廊道建设，某河段不断加大生态修复力度．该河段2024年治理水域面积为150万平方米，经过两年持续治理，预计2026年治理水域面积可达174.96万平方米．若治理水域面积的年平均增长率为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．根据表格，估计一元二次方程的一个解的范围（    ） 0 1 2 13 A． B． C． D． 8．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．如图是一座仿赵州桥建造的抛物线形拱桥的示意图，正常水位时，水面宽，水位上涨到达警戒水位，此时水面宽，则正常水位时拱顶离水面的高度为（     ） A． B． C． D． 9．二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、填空题 10．已知m是方程的一个根，则的值为________． 11．函数的图象开口方向___________，对称轴为___________，顶点是___________． 12．2026年3月，山西省文化和旅游工作会议在太原召开，分组交流会上若每两名参会人员之间相互握手一次，经统计该研讨组共握手903次，设该研讨组共有名参会人员，根据题意可列方程为____________． 13．已知函数的图象如图所示．若直线与该图象恰有两个不同的交点，则m的值为____． 14．如图，已知顶点A的坐标为，点B在y轴上，且轴，过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，则的面积为___________． 15．如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．当线段的长为时，t的值为_____________． 三、解答题 16．解方程 (1)； (2)． 17．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求m的值． 18．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为，墙的厚度忽略不计），其他的边用总长的不锈钢栅栏（栅栏占地面积忽略不计）围成，左右两侧各开一个的出口（出口不用栅栏）后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为，矩形车棚的面积为． (1)求与之间的函数关系式； (2)当车棚的宽为时，求矩形车棚的面积． 19．已知抛物线． (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标为______； (2)选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点画出该抛物线； x … … y … … (3)若该抛物线上，两点的横坐标满足，试比较与的大小． (4)当时，则y的取值范围为______． 20．项目式学习 项目主题 五台山风景文创摆件设计与销售 项目背景 五台山是山西省世界文化遗产、国家5A级旅游景区．某文创工坊设计一款矩形装饰工艺品，工艺品整体外框尺寸长、宽，中间印制五台山风景画，风景画四周留有宽度相等的空白边框．开展线下门店销售活动，请你完成下面项目任务．    项目任务 (1)任务1：若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白边框的宽度是多少？ (2)任务2：已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为24000元？ 21．定义：我们把关于的一元二次方程与且，称为一对“换位方程”．如的“换位方程”是． (1)写出一元二次方程的“换位方程”：_____； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“换位方程”的两根为，_____；根据以上结果，猜想的两根，与其“换位方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为_____； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 22．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在抛物线上，且横坐标为． (1)直接写出点的坐标：__________； (2)求直线所对应的函数解析式； (3)若是该抛物线上位于直线上方的点，且横坐标为，则的面积为___________； (4)若抛物线的对称轴与直线相交于点，为顶点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第25-26章阶段复习-2026-2027学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C C C B B D D D B 1．C 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可，含二次项的方程可化简的需先化简． 【详解】解：选项，是一元一次方程，不符合； 选项，对化简，左边展开得，移项合并同类项得，是一元一次方程，不符合； C选项，是一元二次方程，符合； D选项，是分式方程，不符合． 2．C 【详解】解：将移项，得， ∴一次项系数为，常数项为， ∴一次项系数和常数项的和为． 3．C 【分析】通过对应一元二次方程的根的判别式，判断二次函数图象与轴的交点个数． 【详解】解：令，得． ∵根的判别式． 又∵ ， ∴ ，即． ∴该方程有两个不相等的实数根，对应二次函数图象与轴有2个交点． 4．B 【分析】利用因式分解法解方程即可，注意不要漏掉这个根． 【详解】解：由得，解得，． 5．B 【详解】解：∵原二次函数的顶点坐标为，图象向下平移3个单位， ∴平移后的顶点坐标为， ∴平移后所得图象的函数解析式为． 6．D 【分析】以2024年治理水域面积为初始量，按年平均增长率推导2026年的面积，结合已知条件列方程即可． 【详解】解：2024年治理水域面积为150万平方米，年平均增长率为，则2025年治理水域面积为万平方米，2026年治理水域面积为万平方米， ∵2026年治理水域面积为174.96万平方米， ∴． 7．D 【分析】比较与10的大小，找到值跨越10的相邻区间即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个解的范围是． 8．D 【分析】以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为轴、竖直向上的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则水面在轴下方，设抛物线的解析式为；把“水面宽”的一半作为横坐标，把“水面相对原点的竖直位移”作为纵坐标，用正常水位（半宽为6，点的纵坐标为）与警戒水位（半宽为4，点的纵坐标为）两组数据列出关于a、h的方程组，两式相减消去h先求出a，再回代即可求出拱顶离正常水面的高度． 【详解】解：如图，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为轴，竖直向上的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，则水面在轴下方，抛物线开口向下． 设抛物线的解析式为，设正常水位时拱顶离水面的高度为． 正常水位时水面宽，半宽为，水面两端点的坐标为、；水位上涨到达警戒水位，此时水面宽，半宽为，水面两端点的坐标为、． 把、分别代入，得，． 两式相减，得，解得． 把代入，得，所以． 故正常水位时拱顶离水面的高度为． 【点睛】抛物线形拱桥、隧道类问题，一般都以顶点（拱顶）为原点建立平面直角坐标系，设，只含一个待定系数，计算最简；两个已知条件列出两个方程后，通常用两式相减先消去，再回代．易错点：一是横坐标要用水面宽的一半，不能用水面宽本身；二是水面在原点下方，点的纵坐标要用表示，水位上涨多少，纵坐标就相应增加多少． 9．B 【分析】根据抛物线开口方向确定的符号，根据对称轴位置确定的符号，根据抛物线与轴交点个数确定 的符号. 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， ， 抛物线与轴有两个不同的交点， . 10．2026 【分析】将代入一元二次方程，整理变形即可求出所求式子的值． 【详解】解：是方程的一个根， 把代入原方程，得， 移项得． 11． 向上 直线 【分析】根据二次项系数的符号判断开口方向，再结合二次函数顶点形式确定对称轴和顶点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数， ∴ 函数图象开口向上， 将函数整理为顶点式得， 根据二次函数顶点式的性质，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴ 可得该函数对称轴为直线，顶点坐标为． 12． 【分析】设参会总人数为，每人只能和除自身外的人握手，每一次握手会被两人各计算一次，因此实际总握手次数为所有人计算的握手次数之和除以2，等于题目给出的903次，据此列方程． 【详解】解：∵该研讨组共有名参会人员，要求每两名参会人员之间相互握手一次， ∴每名参会人员需要和名其他人员握手，人累计计算得次， ∵每一次握手会被两名参会人员各重复计算一次， ∴实际总握手次数为， ∵实际总握手次数为903， ∴可列方程为． 13．0或1 【分析】由直线与该图象仅有两个交点，则直线与有一个交点，与有一个交点，即过抛物线的顶点或直线经过，从而可求解． 【详解】解：∵直线与该图象仅有两个交点， 则直线与有一个交点，过的顶点或直线经过， 当直线与有一个交点，过的顶点时， ∴， ∵， ∴顶点坐标为， ∴； 当直线经过时，， 综上，m的值为0或1． 14． 【分析】根据抛物线顶点坐标设出顶点式，利用平行四边形性质及抛物线对称性确定长度，进而得到长度及点坐标，求出抛物线解析式后得到点纵坐标，最后利用平行四边形面积公式求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 四边形是平行四边形， 轴，， 点与点关于抛物线对称轴对称， 点在轴上， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， 点的坐标为，轴， 点的坐标为， 将点代入抛物线中得， 解得． 抛物线的表达式为， 令，得， 点的坐标为， 边上的高为， 平行四边形的面积为． 15．5或9 【分析】先确定运动时间的取值范围，因为两点同时出发且一点到终点即停止，所以根据、的速度和对应边长度计算的最大取值．用含的代数式分别表示、的长度，再结合的长度，推导和在水平方向上的距离表达式．过点P作的垂线，构造以为斜边的直角三角形，因为矩形的边长等于该直角三角形的一条直角边，另一条直角边等于，当斜边时，根据勾股定理列关于的方程．求解方程，结合的取值范围筛选符合条件的解． 【详解】解：点P沿运动，长、速度，到达终点的时间为； 点Q沿运动，长、速度，到达终点的时间为． 因此运动总时长不超过， 即​． 过P作于E， 由矩形性质可知，是直角三角形． 由运动速度得：，， 因此P、Q两点在水平方向的距离差为． 在中，根据勾股定理：， 代入、， ， 整理得， ∴， 解得，， 均满足​； 即两个解均符合运动边界要求． 16．(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 得，； （2）解：， ， ， 或， 得，． 17．(1) 的取值范围是 (2) 的值为 【详解】（1） 解：∵ 关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴， 解得； ∵，符合题意， ∴的值为. 18．(1) (2)矩形车棚的面积为 【分析】（1）根据矩形的面积公式求解； （2）把代入（1）中关系式可得结论． 【详解】（1）解：由题意可知，车棚的宽，则垂直于墙的三条边总长为， 因为栅栏总长为，且左右两侧各有一个的出口， 所以平行于墙的边的长度为：， 根据矩形面积公式，得y与x的函数关系式为, 因为墙长最多， 所以 解得， 所以，与之间的函数关系式为 （2）解：把代入解析式： ． 所以，矩形车棚的面积为． 19．(1)直线； (2) x … 0 1 2 3 4 … y … 2 3 2 … (3) (4) 【分析】（1）根据解析式即可得到对称轴和顶点坐标； （2）先列表，再画出对应的函数图象即可； （3）根据解析式判断出函数的增减性即可得到答案； （4）抛物线开口向下，则离对称轴越远函数值越小，据此结合x的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； （2）略 （3）解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵该抛物线上，两点的横坐标满足， ∴； （4）解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴在满足的条件下，当时，y有最小值，最小值为， 又∵顶点的纵坐标为3，即y的最大值为3， ∴当时，． 20．(1)空白画框的宽度为 (2)降低20元或30元 【分析】（1）设画框（空白部）的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （2）设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为24000元，根据总利润等于单件利润乘以销售量，列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设空白画框的宽度为， 根据题意列方程得：， 解得：，， ∵当时，，风景画长度为负数，不符合实际意义，舍去该解， ∴． 答：空白画框的宽度为． （2）解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为24000元， 根据题意列方程得：， 解得：，， 答：该公司把销售单价降低20元或30元时，每天所获利润为24000元． 21．(1) (2)；互为倒数； (3)或 【分析】（1）按照“换位方程”的定义求解即可； （2）用配方法解出（1）中的“换位方程”，根据解来判断原方程的根与“换位方程”的根的关系； （3）方程的两根是，，因为方程的“换位方程”的两根是，， 设，将方程变形为，进行求解即可． 【详解】（1）解：在一元二次方程中，，，， 所以，一元二次方程的“换位方程”为； （2）由（1）知一元二次方程的“换位方程”为； 或， ，， 原方程的两根为，， ，， 猜想的两根，与其“换位方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数； （3）方程的两根是，，因为方程的“换位方程”是方程， 所以方程的两根是，， ， ， 设， 则， 或， 即，， 或． 【点睛】将看作一个整体进行求解． 22．(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（）把代入二次函数解析式求出的值即可求解； （）分别求出点和的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）过点作轴于，交直线于点，分别求出点和的坐标，进而得到的长，再根据解答即可求解； （）由函数解析式得，，根据平行四边形的性质得到，设，则，  得，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴； （2）解：把代入，得， 解得，， ∵点在原点左侧， ∴， 设直线的函数解析式为，把和代入， 得， 解得， ∴直线所对应的函数解析式为； （3）解：如图，过点作轴于，交直线于点， 把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴以为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，如图， ∴， 设，则，   ∴， ∴或， 解方程，得或（不合题意，舍去）， 解方程，得或， 当，， 当，， 当，， ∴点的坐标为或或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $